Ordinalzahlanalyse prädikativer Theorien unter Verwendung von Fundamentalfolgen

Diplomarbeit vorgelegt von Anton Setzer

Mathematisches Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München

Januar 1990

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort 3

I Ordinalzahlanalyse 6

2 Die Funktionen ψ_{v}(v ≤ ω) 7 3 Das Bezeichnungssystem (OT, ≺) 14 4 Fundamentalfolgen für OT 19 5 Berechnung von ω^{α} für α ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) 27 6 Berechnung von ϕ_{α}β für α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) 32 7 Fundamentalfolgen für ω^{β} und ϕ_{α}β 38 8 Die Relation <_{k} und die Funktionen F_{β} 47 9 <_{k} und F_{k} mit spezieller Fundamentalfolgenzuordnung 54 10 <_{k} und F_{k} auf ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) 60

II Beweistheoretische Analyse 69

11 Schnittelimination und Kollabierung im Beweiskalkül (Σ) 70 12 Interpretation der Peanoarithmetik in (Σ) 79 Inhaltsverzeichnis 2

13 Definition von (DA), (RA^{∗}) und Interpretationen Int^{σ} 83 14 Interpretation der Beweise von (DA) in (RA^{∗}) 93 15 Schranken für beweisbare Π_{2}^{0}-Sätze 107

III Anhang 109

A Symbolverzeichnis 110 B Literaturverzeichnis 114

Kapitel 1

Vorwort

Diese Diplomarbeit gliedert sich in zwei Hauptteile. Im ersten Teil, der die Kapitel 2 - 10 umfaßt, analysiere ich das in [1] dargestellte Ordinalzahlbezeichnungssystem (OT, ≺), insbesondere hinsichtlich Fundamentalfolgen. Der zweite Teil, Kapitel 11 - 15, ist dann rein beweistheoretisch. In diesem Teil wird die in [3] entwickelte übersichtliche Methode, Schranken für in der Peano-Arithmetik beweisbare Π_{2}^{0}-Sätze zu finden, weiter verallgemeinert und auf die Δ_{1}^{1}-Analysis angewandt. Im Folgenden werde ich zunächst einen Überblick geben und dabei auf die verwendete Literatur hinweisen. In Kapitel 2 werden die Funktionen ψ_{v} zusammen mit den Ordinalzahlmengen C_{v} eingeführt und grundlegende Eigenschaften dargestellt. Es ist im Wesentlichen bis auf den Abschnitt 2.14 - 2.18 eine Übersetzung von Kapitel 1 in [1]. In Kapitel 3 wird das Ordinalzahlbezeichnungssystem (OT, ≺) eingeführt. Es ist eine Übersetzung von Kapitel 2 aus [1]. In Kapitel 4 werden die Fundamentalfolgen für OT eingeführt. Die erste Hälfte ist weitgehend eine Übersetzung von Kapitel 3 aus [1]. Da aber in dieser Arbeit nicht die volle Fundamentalfolgeneigenschaft (also die Eigenschaft von Satz 4.15) benötigt wurde, wurde dort zur Vereinfachung bei der Definition der Fundamentalfolgen in [ ].4 (ii) a[n] := D_{v}b[D_{u}b[1]] definiert. Dies wurde in der vorliegenden Arbeit modifiziert, wobei ich im Wesentlichen eine handschriftliche Ausarbeitung von Herrn Prof. Dr. Buchholz ([5]) unmittelbar übernommen habe.

Nachdem die Kapitel 2 - 4 nur eine Zusammenstellung von Ergebnissen umfassen, ich also nur Tipparbeit geleistet habe, geht in die folgenden Kapitel eigene mathematische Arbeit ein. Im Gegensatz zu Varianten des eingeführten Ordinalzahlbezeichnungssystems (in [4] wird z.B. λα.ω^{α} verwendet) wurden in [1] und damit auch in der vorliegenden Arbeit bei der Definition von OT die Funktionen λα.ω^{α} und λ(α, β).ϕ_{α}β nicht verwendet. In Kapitel 5 wird nun eine Darstellung von ω^{α} für α ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) angegeben und in Kapitel 6 ϕ_{α}β für α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) berechnet. Hierbei greife ich auf Ideen aus [4] zurück. Dort konnte allerdings sofort auf die Funktion λα.ω^{α} zurückgegriffen werden und damit konnte sehr leicht Ω_{1}^{α} und die Multiplikation von Ordinalzahlen berechnet werden, was die Berechnung von ϕ_{α}β dort sehr vereinfachte. Weiter wurde in [4] ϕ_{α}β nur für α, β < Γ_{0} berechnet. Die Definition der Fundamentalfolgen verwendete das Ordinalzahlbezeichnungssystem OT, in dem ω^{α} und ϕ_{α}β nur abgeleitete Funktionen sind. Deshalb müssen die Fundamentalfolgen für ϕ_{α}β und ω^{α} erst berechnet werden. In Kapitel 7 untersuche ich diese. Dieses Kapitel ist rein technischer Natur. Leider sind die Fundamentalfolgen nicht so schön übersichtlich, wie man sie üblicherweise definiert (vgl. insbesondere Lemma 7.3). In den Kapiteln 8 - 10 werden die Relation <_{k} und die Funktionen der schnellwachsenden Hierarchie F_{α} untersucht. Um zunächst unabhängig von der speziellen Wahl von Fundamentalfolgen und auch von den Schwierigkeiten aus Kapitel 7 zu sein, gehe ich in Kapitel 8 zunächst von einem beliebigen Ordinalzahlabschnitt mit Fundamentalfolgenzuordnung aus, der die Bachmannbedingung erfüllt. Im Abschnitt 8.2 - 8.7 führe ich dabei nur die Beweise von [6] aus, der Rest von Kapitel 8, insbesondere die Definition der Relation ˜< beruht auf eigener mathematischer Arbeit. In Kapitel 9, das auf eigener Arbeit beruht, verschärfe ich die Anforderungen an die Fundamentalfolgen leicht, und untersuche zunächst im Wesentlichen die Verträglichkeit der Relation ˜< mit der direkten Summe #. Besonders hinweisen möchte ich auf Folgerung 9.4, die die Interpretation prädikativer Theorien später erleichtern wird. Weiter führe ich dann die Ordinalzahlverknüpfung ∪ ∪ ein, die für die Interpretation der Δ_{1}^{1}-Analysis (DA) bedeutsam sein wird. In Kapitel 10 wende ich die Ergebnisse der Kapitel 8 und 9 auf den Abschnitt ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) an, und untersuche die Verträglichkeit von <_{k} mit ω^{α} und ϕ_{α}β. Mit Kapitel 11 beginnt dann der beweistheoretische Teil der Arbeit. In diesem Kapitel wird das halbformale System (Σ) eingeführt, Schnittelimination durchgeführt und das Kollabierungslemma 11.6 bewiesen. In seinen Grundzügen geht es auf eine Ausarbeitung von Herrn Prof. Dr. Buchholz ([6]) zurück, bei den Schnitteliminationsätzen 11.11 und 11.12 war erhebliche Beweisarbeit zu leisten. In Kapitel 12 interpretiere ich die Peano-Arithmetik (P A) in (Σ). Hierbei habe ich im Wesentlichen den Beweis in [3] auf das in Kapitel 11 eingeführte Konzept übertragen, gewissermaßen eine Vorübung für Kapitel 14. In Kapitel 13 führe ich die Δ_{1}^{1}-Analysis (DA) und die verzweigte Analysis (RA^{∗}) ein, die eine Fassung der entsprechenden Axiomensysteme aus [8] im Taitkalkül sind, wobei der Beweiskalkül von (RA^{∗}) derjenige von (Σ) ist. Dieses Kapitel folgt in seinen Grundzügen dem entsprechenden Abschnitt in [8]. In Kapitel 14 wird dann (DA) in (RA^{∗}) interpretiert. Hierbei folge ich wiederum dem Konzept in [8]. In Kapitel 15 wird dann das Ergebnis angegeben, auf das die Diplomarbeit abzielte, nämlich Schranken für die in (P A) bzw. (DA) beweisbaren Π_{2}^{0}- Sätze.

Ich möchte mich bei Herrn Prof. Dr. Buchholz für seine intensive Betreuung bedanken. Mein Dank gilt weiterhin Herrn Prof. Dr. Schwichtenberg und Herrn Prof. Dr. Sieg, von deren Vorlesungen und Seminaren ich sehr profitiert habe.

Teil I Ordinalzahlanalyse Die Funktionen ψ_{v}(v ≤ ω)

In diesem Kapitel werden die Ordinalzahlfunktionen ψ_{v} und die Ordinalzahlmengen C_{v}(α) eingeführt und grundlegende Eigenschaften untersucht.

Vorbemerkungen 2.1 Im Folgendenen bezeichnen die Buchstaben α, β, γ, δ, ξ, η, ζ immer Ordinalzahlen. ’On’ bezeichnet die Klasse aller Ordinalzahlen und ’Lim’ die Klasse der Limesordinalzahlen. Wie üblich sei α ↦ ℵ_{α} die Abzählung der unendlichen Kardinalzahlen. Wir definieren

Ω_{ξ} := \{ \begin{matrix}1, & falls ξ = 0, \\ ℵ_{ξ}, & falls ξ > 0. \end{matrix}

P bezeichne die Klasse der additiven Hauptzahlen d.h.

P = {α ∈ On | 0 < α ∧ ∀ξ, η < α (ξ + η < α)} = {ω^{ξ} | ξ ∈ On}.

Definition von P (α).

(1) P (0) := ∅.

(2) Ist α > 0 so existieren eindeutig bestimmte α_{0}, …, α_{n} ∈ P mit α_{n} ≤ ⋯ ≤ α_{0} und α = α_{0} + ⋯ + α_{n}; dann sei P (α) := {α_{0}, …, α_{n}}.

2. Die Funktionen ψ_{v}(v ≤ ω) 8

Sei α = α_{1}+⋯+α_{k}, β = α_{k+1}+⋯+α_{l} mit α_{1} ≥ ⋯ ≥ α_{k}, α_{k+1} ≥ ⋯ ≥ α_{l}, ∀^{\}i(α_{i} ∈ P). Dann sei wie üblich die direkte Summe α#β := α_{π(1)}+⋯+α_{π(l)}, wobei π eine Permutation von 1, …, l mit α_{π(1)} ≥ ⋯ ≥ α_{π(l)} sei. Wir definieren α=_{NF} β_{1} + ⋯ + β_{n} :⇔α = β_{1} + ⋯ + β_{n} )∧

(∀1 ≤ i < n (min(P (β_{i})) ≥ max(P (β_{i+1})) ∨ β_{i} = 0 ∨ β_{i+1} = 0).

Lemma 2.2

(a) α ∉ P ⇔ P (α) ⊂ α.

(b) γ ∈ P ⇒ (P (α) ⊂ γ ⇔ α < γ).

(c) P (β) ⊂ P (α + β) ⊂ P (α) ∪ P (β).

(d) Ω_{ξ} ∈ P, für alle ξ ∈ On.

Beweis: klar.

Definition 2.3 (Definition der Ordinalzahlmengen C_{v}(α) und Ordinalzahlen ψ_{v}α(v ≤ ω) ) Definition durch transfinite Rekursion über α, simultan für alle v ≤ ω. Sei C_{v}(ξ) und ψ_{v}ξ bereits definiert für alle ξ < α, v ≤ ω. Dann sei:

C_{v}^{0}(α) := Ω_{v},
C_{v}^{n+1}(α) := C_{v}^{n}(α) ∪ {γ | P (γ) ⊂ C_{v}^{n}(α)}
∪{ψ_{u}ξ | ξ ∈ α ∩ C_{v}^{n}(α) ∧ ξ ∈ C_{u}(ξ) ∧ u ≤ ω},

und wir definieren:

C_{v}(α) := ⋃_{n<ω} C_{v}^{n}(α),  ψ_{v}α := min{γ | γ ∉ C_{v}(α)}.

Lemma 2.4

(a) ψ_{v}0 = Ω_{v}.

(b) ψ_{v}α ∈ P.

(c) Ω_{v} ≤ ψ_{v}α < Ω_{v+1}.

(d) α ≤ β ⇒ C_{v}(α) ⊂ C_{v}(β) und ψ_{v}α ≤ ψ_{v}β.

(e) γ ∈ C_{v}(α) ⇔ P (γ) ⊂ C_{v}(α).

(f) ξ, η ∈ C_{v}(α) ⇒ ξ + η ∈ C_{v}(α).

(g) ξ + η ∈ C_{v}(α) ⇒ η ∈ C_{v}(α).

(h) α_{0} < α und ∀ξ(α_{0} ≤ ξ < α ⇒ ξ ∉ C_{v}(α_{0})) ⇒ C_{v}(α_{0}) = C_{v}(α).

Beweis:

(a) Durch Induktion nach n erhalten wir C_{v}^{n}(0) = Ω_{v}.

(b) Angenommen ψ_{v}α ∉ P. Dann P (ψ_{v}α) ⊂ ψ_{v}α ⊂ C_{v}(α) also ψ_{v}α ∈ C_{v}(α). Widerspruch.

(c) Aus Ω_{v} ⊂ C_{v}(α) folgt Ω_{v} ≤ ψ_{v}α. Offensichtlich ist die Kardinalität von C_{v}(α) kleiner als Ω_{v+1}. Also existiert ein γ < Ω_{v+1} mit γ ∉ C_{v}(α) und damit ψ_{v}α < Ω_{v+1}.

(d) Trivial.

(e) Mit Hilfe von ψ_{u}ξ ∈ P beweist man: ∀γ ∈ C_{v}^{n}(α)(P (γ) ⊂ C_{v}^{n}(α)) durch Induktion nach n. Andererseits folgt aus P (γ) ⊂ C_{v}(α) P (γ) ⊂ C_{v}^{n}(α) für ein n ∈ IN (da P (γ) endlich und C_{v}^{i}(α) ⊂ C_{v}^{i+1}(α)) also γ ∈ C_{v}^{n+1}(α) ⊂ C_{v}(α).

(f) Aus ξ, η ∈ C_{v}(α) erhalten wir P (ξ + η) ⊂ P (ξ) ∪ P (η) ⊂ C_{v}(α) also ξ + η ∈ C_{v}(α).

(g) Aus ξ + η ∈ C_{v}(α) folgt P (η) ⊂ P (ξ + η) ⊂ C_{v}(α) und damit η ∈ C_{v}(α).

(h) Sei α_{0} < α und ∀ξ(α_{0} ≤ ξ < α → ξ ∉ C_{v}(α_{0})). Dann folgt aus (d) C_{v}(α_{0}) ⊂ C_{v}(α) und durch Induktion nach n ∀γ(γ ∈ C_{v}^{n}(α) → γ ∈ C_{v}(α_{0})).

Bemerkung 2.5 Existiert α := min{ξ | α_{0} ≤ ξ ∈ C_{v}(α_{0})}, so folgt C_{v}(α_{0}) = C_{v}(α), ψ_{v}α = ψ_{v}α_{0} und α ∈ C_{v}(α)

Beweis: Lemma 2.4(h).

Lemma 2.6 α < β und α ∈ C_{v}(α) ⇒ ψ_{v}α < ψ_{v}β.

Beweis: Aus der Prämisse folgt ψ_{v}α ≤ ψ_{v}β und ψ_{v}α ∈ C_{v}(β). Also gilt ψ_{v}α < ψ_{v}β, da ψ_{v}β ∉ C_{v}(β).

Lemma 2.7

(a) γ = ψ_{u_{i}}ξ_{i} und ξ_{i} ∈ C_{u_{i}}(ξ_{i})(i = 0, 1) ⇒ u_{0} = u_{1}, ξ_{0} = ξ_{1}.

(b) γ ∈ C_{v}(α) und Ω_{v} ≤ γ ∈ P ⇒ ∃u, ξ(γ = ψ_{u}ξ und ξ ∈ α ∩ C_{v}(α) ∩ C_{u}(ξ)).

(c) Ω_{v} ≤ ψ_{u}ξ ∈ C_{v}(α) und ξ ∈ C_{u}(ξ) ⇒ ξ ∈ α ∩ C_{v}(α).

Beweis:

(a) folgt direkt aus Lemmata 2.4(c) und 2.6.

(b) Es gilt P (γ) = {γ} und γ ∈ C_{v}^{n+1}(α)\C_{v}^{n}(α) für ein n ∈ IN. Also folgt γ = ψ_{u}ξ mit ξ ∈ α ∩ C_{v}^{n}(α) und ξ ∈ C_{u}(ξ).

(c) Sei γ := ψ_{u}(ξ). Nach (b) gilt γ = ψ_{w}ζ mit ζ ∈ α ∩ C_{v}(α) ∩ C_{w}(ζ). Nach (a) folgt dann w = u und ξ = ζ ∈ α ∩ C_{v}(α).

Lemma 2.8 C_{v}(α) ∩ Ω_{v+1} = ψ_{v}α.

Beweis: ψ_{v}(α) ⊂ C_{v}(α) ∩ Ω_{v+1} gilt nach Definition 2.3 und Lemma 2.4(c). Sei nun γ ∈ C_{v}(α) ∩ Ω_{v+1}. Zu zeigen ist γ < ψ_{v}α.

1. γ < Ω_{v}: Dann gilt γ < ψ_{v}α nach Lemma 2.4(c).

2. Ω_{v} ≤ γ ∈ P: Dann gilt γ = ψ_{u}ξ mit ξ < α und ξ ∈ C_{u}(ξ) nach Lemma 2.7(b). Nach Lemma 2.4(c) erhalten wir u = v. Nach Lemma 2.6 folgt nun γ = ψ_{v}ξ < ψ_{v}α.

3. Ω_{v} ≤ γ ∉ P: Dann γ_{0} := max P (γ) ∈ C_{v}(α) ∩ Ω_{v+1}, und mit 2. erhalten wir γ_{0} < ψ_{v}α. Da ψ_{v}α ∈ P, folgt γ < ψ_{v}α.

Lemma 2.9

(a) ψ_{v}(α + 1) = \{ \begin{matrix}min\{γ ∈ P | ψ_{v}α < γ\}, & falls α ∈ C_{v}(α), \\ ψ_{v}α, & ansonsten. \end{matrix}

(b) α ∈ Lim ⇒ ψ_{v}α = sup{ψ_{v}ξ | ξ < α und ξ ∈ C_{v}(ξ)}.

Beweis:

(a) 1. Gilt α ∈ C_{v}(α) so folgt nach Lemmata 2.4(b) und 2.6 ψ_{v}(α) < ψ_{v}(α + 1) ∈ P. Angenommen ψ_{v}α ≤ γ < ψ_{v}(α + 1) und γ ∈ P. Dann folgt nach 2.7(b) γ = ψ_{u}ξ mit ξ ≤ α und ξ ∈ C_{u}(ξ). Aus ψ_{v}α ≤ ψ_{u}ξ < ψ_{v}(α + 1) folgt u = v. Aus ψ_{v}(α) ≤ ψ_{v}ξ und ξ ∈ C_{v}(ξ) folgt nach Lemma 2.6 α ≤ ξ. Also gilt α = ξ und γ = ψ_{v}α.

2. Gilt α ∉ C_{v}(α) so gilt C_{v}(α) = C_{v}(α + 1) nach Lemma 2.4(h).

(b) Nach Lemma 2.6 gilt ψ_{v}ξ < ψ_{v}α für alle ξ < α mit ξ ∈ C_{v}(ξ). Sei nun ψ_{v}0 ≤ γ < ψ_{v}α, und γ_{0} := max P (γ). Dann Ω_{v} ≤ γ_{0} ∈ C_{v}(α) und somit γ_{0} = ψ_{v}ξ mit ξ < α und ξ ∈ C_{v}(ξ). Da 1 = ψ_{0}0 und 0 ∈ C_{0}(0) ⊂ C_{v}(ξ + 1), folgt ξ + 1 ∈ C_{v}(ξ + 1). Nach Lemma 2.6 folgt dann γ_{0} = ψ_{v}(ξ) < ψ_{v}(ξ + 1), also γ < ψ_{v}(ξ + 1).

Lemma 2.10

(a) α < ϵ_{0} ⇒ α ∈ C_{0}(α) und ψ_{0}α = ω^{α}.

(b) α < ϵ_{Ω_{v}+1}, v ≠ 0 ⇒ α ∈ C_{v}(α) und ψ_{v}α = ω^{Ω_{v}+α}.

Beweis von (a), (b) durch transfinite Induktion nach α: Wir definieren

ϵ(v) := \{ \begin{matrix}ϵ_{0}, & falls v = 0, \\ ϵ_{Ω_{v}+1}, & falls v > 0, \end{matrix} α ∗ v := \{ \begin{matrix}α, & falls v = 0, \\ Ω_{v} + α, & falls v > 0. \end{matrix}

1. Es gilt 0 ∈ C_{v}(0) und ψ_{v}0{2.4(a) \atop =}Ω_{v} = ω^{0∗v}.

2. Gelte α ∈ C_{v}(α) und ψ_{v}α = ω^{α∗v}. Dann gilt auch α + 1 ∈ C_{v}(α + 1) und ψ_{v}(α + 1) = ω^{α∗v+1} = ω^{(α+1)∗v} nach Lemma 2.9(a).

3. Angenommen α ∈ ϵ(v) ∩ Lim und ∀ξ < α(ξ ∈ C_{v}(ξ) ∧ ψ_{v}ξ = ω^{ξ∗v}). Dann erhalten wir nach Lemma 2.9(b) ψ_{v}α = sup{ω^{ξ∗v} | ξ < α} = ω^{α∗v}. Es bleibt zu zeigen, daß α ∈ C_{v}(α). Falls α < Ω_{v}, ist dies trivial. Falls α = Ω_{v}, gilt α = ψ_{v}0 > 0, also, da 0 ∈ C_{v}(0) ⊂ C_{v}(α), α ∈ C_{v}(α). Falls Ω_{v} < α < ϵ(v) α ∉ P, folgt P (α) ⊂ α, also nach Induktionsvoraussetzung ξ ∈ C_{v}(ξ) ⊂ C_{v}(α)für alle ξ ∈ P (α). Daraus folgt α ∈ C_{v}(α). Falls Ω_{v} < α < ϵ(v) α ∈ P, folgt α = ω^{ξ∗v}mit ξ ≤ (ξ ∗ v) < α. Nach Induktionsvoraussetzung folgt ξ ∈ C_{v}(ξ) ⊂ C_{v}(α) ψ_{v}(ξ) = α. Da ξ < α, folgt also α = ψ_{v}(ξ) ∈ C_{v}(α).

Lemma 2.11

(a) C_{v}(α) ⊂ ϵ_{Ω_{ω}+1}.

(b) ϵ_{Ω_{ω}+1} ≤ α ⇒ C_{v}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) = C_{v}(α).

Beweis:

(a) Mit Hilfe der Lemmata 2.10(b) und 2.4(c) beweist man C_{v}^{n}(α) ⊂ ϵ_{Ω_{ω}+1} durch Induktion nach n.

(b) folgt aus (a) und Lemma 2.4(h).

Definition 2.12 Wir definieren für γ ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) eine endliche Menge G_{u}γ ⊂ On, so daß für jedes α gilt γ ∈ C_{u}(α) ⇔ G_{u}γ ⊂ α. Diese Mengen werden in Kapitel 3 zur Definition von OT benötigt. Die Definition von G_{u}γ erfolgt durch Induktion nach min{n ∈ IN | γ ∈ C_{0}^{n}(ϵ_{Ω_{ω}+1})}:

(1) γ ∉ P : G_{u}γ := ⋃{G_{u}ξ | ξ ∈ P (γ)}.
(2) γ = ψ_{v}ξ mit ξ ∈ C_{v}(ξ) : G_{u}γ := \{ \begin{matrix}\{ξ\} ∪ G_{u}ξ, & falls u ≤ v, \\ ∅, & falls v < u. \end{matrix}

Lemma 2.13 Falls γ ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), gilt γ ∈ C_{u}(α) genau dann, wenn G_{u}γ ⊂ α.

Beweis durch Induktion nach min{n ∈ IN | γ ∈ C_{0}^{n}(ϵ_{Ω_{ω}+1})}:

1. γ ∉ P: Nach Induktionsvoraussetzung gilt ξ ∈ C_{u}(α)⇔G_{u}ξ ⊂ α, für alle ξ ∈ P (γ). Also folgt P (γ) ⊂ C_{u}(α)⇔G_{u}γ ⊂ α. Nach Lemma 2.4(e) gilt γ ∈ C_{u}(α)⇔P (γ) ⊂ C_{u}(α).

2. γ = ψ_{v}ξ mit ξ ∈ C_{v}(ξ): 2.1. u ≤ v Nach Induktionsvoraussetzung gilt ξ ∈ C_{u}(α)⇔G_{u}ξ ⊂ α, und nach Lemma 2.7(c) γ ∈ C_{u}(α)⇔ξ ∈ α ∩ C_{u}(α). Daraus folgt dann γ ∈ C_{u}(α)⇔{ξ} ∪ G_{u}ξ ⊂ α. Nun gilt aber G_{u}γ = {ξ} ∪ G_{u}ξ. 2.2. v < u: Dann gilt γ ∈ Ω_{u} ⊂ C_{u}(α) und G_{u}γ = ∅.

Definition 2.14 Definition von Länge_{s}(α) für α ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) durch Rekursion über

n := min{n | α ∈ C_{s}^{n}(ϵ_{Ω_{ω}+1})}. Falls n = 0 d.h. α < Ω_{s}, sei Länge_{s}(α) := 0. Falls n = m + 1 und α ∉ P, gilt P (α) ⊂ C_{s}^{m}(ϵ_{Ω_{ω}+1}),

und es sei Länge_{s}(α) := max{Länge_{s}(γ) | γ ∈ P (α)}. Falls n = m + 1 und α = ψ_{u}ξ mit ξ ∈ C_{u}(ξ) ∩ ϵ_{Ω_{ω}+1} ∩ C_{s}^{m}(ϵ_{Ω_{ω}+1}),

s ≤ u ≤ ω, sei Länge_{s}(α) := Länge_{s}(ξ) + 1.

Lemma 2.15 Sei α < β, γ ∈ C_{s}(β)\C_{s}(α). Dann gilt Länge_{s}(γ) ≥ min{Länge_{s}(δ) | α ≤ δ < β, δ ∈ C_{s}(β)} + 1.

Beweis: γ ∈ C_{s}(β)\C_{s}(α) ⇒ γ enthält Teilterm ψ_{u}ξ mit α ≤ ξ < β, u ≥ s, ξ ∈ C_{s}(β) ∩ C_{u}(ξ).

Folgerung 2.16 Sei α < β und ∀γ((α ≤ γ < β ∧ γ ∈ C_{s}(β)) → Länge_{s}(γ) ≥ Länge_{s}(α)). Gelte α ∈ C_{s}(β). Dann gilt α ∈ C_{s}(α).

Beweis: Wäre α ∉ C_{s}(α) so wäre nach Lemma 2.15 Länge_{s}(α) ≥ min{Länge_{s}(γ) | α ≤ γ < β, γ ∈ C_{s}(β)} + 1 ≥ Länge_{s}(α) + 1. Widerspruch.

Lemma 2.17 γ =_{NF} α + β, γ ∈ C_{s}(γ) ⇒ α ∈ C_{s}(α).

Beweis: Aus γ ∈ C_{s}(γ) folgt nach Lemma 2.4(e) α ∈ C_{s}(γ). Sei α ≤ δ < γ = α + β δ ∈ C_{s}(γ) ⇒ ∃ξ(0 ≤ ξ < β ∧ δ = α + ξ). Da ξ < β, gilt δ =_{NF} α + ξ also Länge_{s}(δ) ≥ Länge_{s}(α). Nach Folgerung 2.16 folgt α ∈ C_{s}(α).

Lemma 2.18 γ=_{NF} α + β γ ∈ C_{n}(γ) ψ_{n}(γ) ∈ C_{s}(ψ_{n}(γ)) ⇒ α ∈ C_{n}(α) und ψ_{n}(α) ∈ C_{s}(ψ_{n}(α)).

Beweis: Nach Lemma 2.17 folgt α ∈ C_{n}(α). Falls n < s, ist ψ_{n}(α) < Ω_{s} also ψ_{n}(α) ∈ C_{s}(ψ_{n}(α)). Sei also n ≥ s. Sei ψ_{n}(α) ≤ δ < ψ_{n}(γ) δ ∈ C_{s}(ψ_{n}(γ)). Zeige: Łänge_{s}(δ) ≥ Länge_{s}(ψ_{n}(α)).

Sei δ=_{NF} δ_{1} + δ_{2} mit δ_{1} ∈ P.

Dann folgt ψ_{n}(α) ≤ δ_{1} < ψ_{n}(γ) also Ω_{n} ≤ δ_{1} ∈ C_{n}(γ).

⇒ ∃ξ(δ_{1} = ψ_{n}ξ ∧ ξ ∈ C_{n}(γ) ∩ C_{n}(ξ) ∧ α ≤ ξ < γ).

Wegen γ=_{NF} α + β folgt Länge_{s}(ξ) ≥ Länge_{s}(α) und damit Länge_{s}(δ) ≥ Länge_{s}(δ_{1}) = Länge_{s}(ξ) + 1 ≥ Länge_{s}(α) + 1 = = Länge_{s}(ψ_{n}(α)). (1)

Weiterhin gilt Ω_{s} ≤ ψ_{n}(γ) ∈ C_{s}(ψ_{n}(γ)) γ ∈ C_{n}(γ).

\underrightarrow{2.7(c)}γ ∈ C_{s}(ψ_{n}(γ)) ∩ ψ_{n}(γ) ⇒ α ∈ C_{s}(ψ_{n}(γ)) ∩ ψ_{n}(γ), und, da α ∈ C_{n}(α), ψ_{n}(α) ∈ C_{s}(ψ_{n}(γ)). (2) (1),(2) und Folgerung 2.16 ergeben ψ_{n}(α) ∈ C_{s}(ψ_{n}(α)).

Das Bezeichnungssystem (OT, ≺)

Die Überlegungen in Kapitel 2 legen nahe, ein Ordinalzahlbezeichnungssystem für C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) einzuführen. Dieses System wird (OT, ≺) heißen und in diesem Kapitel definiert.

Definition 3.1 D_{0}, D_{1}, …, D_{ω}sei eine Folge formaler Symbole. Induktive Definition einer Menge T von Termen zusammen mit Länge(a) für a ∈ T.

(T1) 0 ∈ T, Länge(0) := 0.

(T2) Sind a ∈ T und v ≤ ω, dann ist auch D_{v}a ∈ T; wir nennen D_{v}a einen Hauptterm, Länge(D_{v}a) := Länge(a) + 1. (T3) Sind a_{0}, …, a_{k} ∈ T Hauptterme und gilt k ≥ 1, dann gilt

(a_{0}, …, a_{k}) ∈ T,

Länge(a_{0}, …, a_{k}) := max{Länge(a_{i}) + 1 | 0 ≤ i ≤ k}.

Im folgenden bezeichnen die Buchstaben a, b, c, d immer Elemente von T. Ist a ein Hauptterm so sei (a) := a, weiter (0) := 0. Weiter P^{T} := {a ∈ T | a Hauptterm} = {D_{v}a | a ∈ T und v ≤ ω}, und für 0 ≠ a = (a_{0}, …, a_{k}) sei P^{T}(a) := {a_{0}, …, a_{k}}, sowie P^{T}(0) := ∅.

3. Das Bezeichnungssystem (OT, ≺) 15

Definition 3.2 Induktive Definition von a ≺ b für a, b ∈ T:

(≺ 1) b ≠ 0 ⇒ 0 ≺ b.
(≺ 2) u < v oder (u = v und a ≺ b) ⇒ D_{u}a ≺ D_{v}b.

(≺ 3) Sei a = (a_{0}, …, a_{n}), b = (b_{0}, …, b_{m}), 1 ≤ m + n. Dann gilt a ≺ b genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen gilt:

(i) n < m und a_{i} = b_{i} für i ≤ n.

(ii) ∃k ≤ min{n, m}(a_{k} ≺ b_{k} und a_{i} = b_{i} für i < n).

Weiter sei a ⪯ b : ⇔(a ≺ b ∨ a = b).

Lemma 3.3 (≺) ist eine lineare Ordnung auf T.

Beweis: klar.

Abkürzungen 3.4 Sei a ∈ T und M, M′ ⊂ T:

\begin{aligned}M ⪯ M′ & :⇔ & ∀x ∈ M∃y ∈ M′(x ⪯ y), \\ M ≺ a & :⇔ & ∀x ∈ M(x ≺ a), \\ a ⪯ M & :⇔ & ∃x ∈ M(a ⪯ x). \end{aligned}

Definition 3.5 Induktive Definition von G_{u}a ⊂ T für a ∈ T:

(G1) G_{u}0 := ∅.

(G2) G_{u}(a_{0}, …, a_{k}) := G_{u}a_{0} ∪ ⋯ ∪ G_{u}a_{k}.

(G3) G_{u}D_{v}b := \{ \begin{matrix}\{b\} ∪ G_{u}b, & falls u ≤ v, \\ ∅, & falls v < u. \end{matrix}

Folgerung 3.6

(a) a ∈ G_{u}b ⇒ G_{u}a ⊂ G_{u}b.

(b) a ∈ G_{u}b ⇒ Länge(a) < Länge(b).

Beweis: klar.

Definition 3.7 Induktive Definition der Menge von Termen OT(OT ⊂ T):

(OT1) 0 ∈ OT.

(OT2) Sind a_{0}, …, a_{k} ∈ OT (k ≥ 1) Hauptterme mit a_{k} ⪯ ⋯ ⪯ a_{0},

dann gilt (a_{0}, …, a_{k}) ∈ OT.

(OT3) Ist b ∈ OT mit G_{v}b ≺ b, dann D_{v}b ∈ OT. Die Elemente von OT heißen Ordinalterme. Wir definieren P^{OT}:= {a ∈ OT | a Hauptterm} = P^{T} ∩ OT, und für a ∈ OT sei P^{OT}(a) := P^{T}(a).

Definition 3.8

Induktive Definition der Ordinalzahl o(a) für a ∈ T:

(o.1) o(0) := 0.

(o.2) o((a_{0}, …, a_{k})) := o(a_{0})# ⋯ #o(a_{k}) (k ≥ 1).
(o.3) o(D_{v}b) := ψ_{v}o(b).

Für M ⊂ OT sei o[M] := {o(x) | x ∈ M}.

Es gilt dann o[P^{OT}] = o[OT] ∩ P und o[P^{OT}(a)] = P (o(a)) für a ∈ OT.

Folgerung 3.9 a ∈ OT ⇒ G_{u}a ⊂ OT.

Beweis: klar.

Lemma 3.10 Seien a, c ∈ OT. Dann gilt:

(a) o(a) ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).
(b) G_{u}(o(a)) = {o(x) | x ∈ G_{u}a}.
(c) a ≺ c ⇒ o(a) < o(c).

Beweis durch Induktion nach Länge(a), simultan für (a),(b),(c):

1. a = 0: trivial.

2. a = D_{v}b: Dann gilt G_{v}b ≺ b und b ∈ OT.

(a) Nach Induktionsvoraussetzung gilt o(b) ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) und G_{v}o(b) = {o(x) | x ∈ G_{v}b} ⊂ o(b). Nach Lemmata 2.11, 2.13 folgern wir dann o(b) ∈ ϵ_{Ω_{ω}+1} ∩ C_{v}(o(b)) und damit o(a) = ψ_{v}o(b) ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).

(b) Da o(b) ∈ C_{v}(o(b)), gilt:

G_{u}o(a) = \{ \begin{matrix}\{o(b)\} ∪ G_{u}o(b), & falls u ≤ v, \\ ∅, & falls v < u. \end{matrix}

Nach Induktionsvoraussetzung gilt G_{u}o(b) = {o(x) | x ∈ G_{u}b}. Also folgt G_{u}o(a) = {o(x) | x ∈ G_{u}a}.

(c) beweisen wir dann durch Nebeninduktion nach Länge(c):

(i) c = D_{u}d mit v < u: o(a) < Ω_{v+1} ≤ Ω_{u} ≤ ψ_{u}o(d) = o(c). (ii)c = D_{v}d mit b ≺ d: Nach Hauptinduktionsvoraussetzung gilt o(b) < o(d) und, wie in (a) gezeigt, o(b) ∈ C_{v}(o(b)). Daraus folgt ψ_{v}o(b) < ψ_{v}o(d). (iii) c = (c_{0}, …, c_{m}) mit m ≥ 1 und a ⪯ c_{0}: Nach der Nebeninduktionsvoraussetzung folgt o(a) ≤ o(c_{0}) und deshalb o(a) < o(c_{0})#o(c_{1}) ≤ o(c).

3. a = (a_{0}, …, a_{n}) mit n ≥ 1 und a_{n} ⪯ ⋯ ⪯ a_{0}:

(a) Nach Induktionsvoraussetzung gilt P (o(a)) = {o(a_{0}), …, o(a_{n})} ⊂ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), also o(a) ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).

(b) Nach Induktionsvoraussetzung gilt G_{u}o(a_{i}) = {o(x) | x ∈ G_{u}(a_{i})} für i = 0, …, , n. Also gilt:

G_{u}o(a) = ⋃_{i=0}^{n} G_{u}o(a_{i}) = {o(x) | x ∈ ⋃_{i=0}^{n} G_{u}a_{i}} = {o(x) | x ∈ G_{u}a}.

(c) Sei c = (c_{0}, …, c_{m}) mit m ≥ 0.

(i) n < m und a_{i} = c_{i} für i ≤ n: o(a) = o(c_{0})# ⋯ #o(c_{n}) < o(c). (ii) k ≤ min{n, m} mit a_{k} ≺ c_{k} und a_{i} = c_{i} für i < k: Nach Induktionsvoraussetzung gilt o(a_{n}) ≤ ⋯ ≤ o(a_{k}) < o(c_{k}) also o(a_{k})# ⋯ #o(a_{n}) < o(c_{k}) ≤ o(c_{k})# ⋯ #o(c_{m}). Also folgt o(a) = o(c_{0})# ⋯ #o(c_{k−1})#o(a_{k})# ⋯ #o(a_{n}) < o(c).

Lemma 3.11

(a) C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) = {o(x) | x ∈ OT}.

(b) ∀a ∈ OT mit a ≺ D_{1}0 gilt:

o(a) = Ordnungstyp({x ∈ OT | x ≺ a}, ≺).

(c) ψ_{0}ϵ_{Ω_{ω}+1} = Ordnungstyp({x ∈ OT | x ≺ D_{1}0}, ≺).

Beweis: (a) Durch Induktion nach n zeigen wir: α ∈ C_{0}^{n}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ ∃a ∈ OT(α = o(a)). (Zusammen mit Lemma 3.10(a) folgt daraus die Behauptung (a)). Der Fall n = 0 ist trivial. Sei α ∈ C_{0}^{n+1}(ϵ_{Ω_{ω}+1})\C_{0}^{n}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).

1. α = α_{0} + ⋯ α_{k} mit α_{0}, …, α_{k} ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) und α_{k} ≤ ⋯ ≤ α_{0}: Nach Induktionsvoraussetzung gibt es a_{0}, …, a_{k} ∈ OT mit o(a_{i}) = α_{i} (i = 0, …, k). Nach Lemmata 3.3 und 3.10(c) erhalten wir a_{k} ⪯ ⋯ ⪯ a_{0}, also a := (a_{0}, …, a_{k}) ∈ OT. Nun gilt o(a) = o(a_{0})# ⋯ o(a_{k}) = α.

2. α = ψ_{v}ξ mit ξ ∈ C_{0}^{n}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ C_{v}(ξ): Nach Induktionsvoraussetzung existiert b ∈ OT mit o(b) = ξ. Nach Lemmata 3.10 (b) und 2.13 erhalten wir {o(x) | x ∈ G_{v}b} = G_{v}ξ ⊂ ξ = o(b). Nach Lemmata 3.3 und 3.10(c) folgt G_{v}b ≺ b, also D_{v}b ∈ OT und o(D_{v}b) = a. (b),(c) Nach (a) und Lemma 3.10(c) ist ({x ∈ OT, x ≺ a}, ≺) isomorph zu (C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ o(a), <) für alle a ∈ OT. Nach Lemma 2.8 gilt C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ o(D_{1}0) = C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{1} = ψ_{0}ϵ_{Ω_{ω}+1}. Daraus folgt (c). Für a ≺ D_{1}0 gilt o(a) ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{1} = ψ_{0}ϵ_{Ω_{ω}+1}, also C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ o(a) = o(a).

Fundamentalfolgen für OT

Für eine verfeinerte beweistheoretische Analyse werden wir Fundamentalfolgen benötigen. Diese werden in diesem Kapitel eingeführt.

Definition 4.1 Definition von a + b und a · n ∈ T: a + 0 := 0 + a := a, (a_{0}, …, a_{k}) + (b_{0}, …, b_{m}) := (a_{0}, …, a_{k}, b_{0}, …, b_{m}) (falls (a_{0}, …, a_{k}),

(b_{0}, …, b_{m}) ≠ 0),

a · 0 := 0, a · (n + 1) := a · n + a.

Lemma 4.2 (a + b) + c = a + (b + c).

Beweis: klar.

Definition 4.3 T_{v} := {0} ∪ {(D_{u_{0}}a_{0}, …, D_{u_{n}}a_{n}) | n ≥ 0, a_{0}, …, a_{n} ∈ T, u_{0}, …, u_{n} ≤ v}.

Bemerkung 4.4 T_{0} ≠ ⊂ T_{1} ≠ ⊂ ⋯ ≠ ⊂ T_{ω} = T, und T_{u} = {x ∈ T | x ≺ D_{u+1}0} für u < ω.

Abkürzung 4.5 1 := D_{0}0. IN := {0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …} ⊂ OT ∩ T_{0}.

4. Fundamentalfolgen für OT 20 Definition 4.6 (Definition von dom(a) und a[z] für a ∈ OT, z ∈ dom(a)).

([ ].0) dom(0) := ∅. ([ ].1) dom(1) := {0}; 1[0] := 0. ([ ].2) dom(D_{u+1}0) := T_{u}; (D_{u+1}0)[z] := z. ([ ].3) dom(D_{ω}0) := IN; (D_{ω}0)[n] := D_{n+1}0. ([ ].4) Sei a = D_{v}b mit b ≠ 0:

(i) Falls dom(b) = {0}: dom(a) = IN,

a[n] := (D_{v}b[0]) · (n + 1).

(ii) dom(b) = T_{u}(v ≤ u < ω): dom(a) := IN, a[n] := D_{v}b[ζ_{n}],

wobei ζ_{0} := D_{u}0, ζ_{n+1} := D_{u}b[ζ_{n}].
(iii) dom(b) ∈ {IN} ∪ {T_{u} | u < v}: dom(a) := dom(b),
a[z] := D_{v}b[z].

([ ].5) a = (a_{0}, …, a_{k})(k ≥ 1): dom(a) := dom(a_{k}),

a[z] := (a_{0}, …, a_{k−1}) + a_{k}[z].

Wir setzen 0[n] := 0, a[n] := a[0] für a ∈ T mit dom(a) = {0}. Lemma 4.7

(a) a ≠ 0 ⇔ dom(a) ≠ ∅.

(b) dom(a) = {0} ⇔ a = a[0] + 1.

Beweis: klar. Lemma 4.8

(a) z ∈ dom(a) ⇒ a[z] ≺ a.

(b) z, z′ ∈ dom(a) = T_{u} und z ≺ z′ ⇒ a[z] ≺ a[z′].

(c) 0 ≠ a ∈ T_{v} ⇒ dom(a) ∈ {{0}, IN} ∪ {T_{u} | u < v} und a[z] ∈ T_{v} für alle z ∈ dom(a).

(d) dom(a) = IN ⇒ a[n] ≺ a[n + 1].

Beweis durch Induktion nach Länge(a):

(a) Alle Fälle folgen direkt mit Induktionsvoraussetzung, im Fall ([ ].4)(ii) folgt durch Nebeninduktion nach n ζ_{n} ∈ T_{u} = dom(b) und damit nach der Hauptinduktionsvoraussetzung a[n] = D_{v}b[ζ_{n}] ≺ D_{v}b = a.

(b) leicht.

(c) leicht.

(d) Die Fälle a = D_{ω}0, D_{v}(b + 1) sind klar. Die Fälle a = D_{v}b mit dom(b) ∈ {IN} ∪ {T_{u} | u < v} sowie a = (a_{0}, …, a_{k}) (k ≥ 1) folgen sofort mit Induktionsvoraussetzung. Sei a = D_{v}b dom(b) = T_{u} u ≥ v, und ζ_{0} := D_{u}0, ζ_{n+1} := D_{u}b[ζ_{n}]. Durch Induktion nach n zeigt man ζ_{n} ≺ ζ_{n+1}.

1. ζ_{0} = D_{u}0 ≺ D_{u}b[D_{u}0], denn nach (b) gilt 0 ⪯ b[0] ≺ b[D_{u}0], also 0 ≺ b[D_{u}0].

2. ζ_{n} ≺ ζ_{n+1}\underrightarrow{(b)}b[ζ_{n}] ≺ b[ζ_{n+1}] ⇒ ζ_{n+1} = D_{u}b[ζ_{n}] ≺ D_{u}b[ζ_{n+1}] = ζ_{n+2}. Aus ζ_{n} ≺ ζ_{n+1} folgt mit (b) a[n] = D_{v}b[ζ_{n}] ≺ D_{v}b[ζ_{n+1}] = a[n + 1].

Lemma 4.9 a, z ∈ OT und z ∈ dom(a) ⇒ a[z] ∈ OT.

Beweis: siehe später.

Definition 4.10 G_{u}^{0}a := G_{u}a ∪ {0}. b◁_{z}a : ⇔b ≺ a und ∀u∀c(b ⪯ c ⪯ a ⇒ G_{u}b ⪯ G_{u}c ∪ G_{u}^{0}z).

Lemma 4.11 b ◁_{z} a, G_{u}a ≺ a, G_{u}z ≺ b ⇒ G_{u}b ≺ b.

Beweis: Es gilt zunächst G_{u}b ⪯ G_{u}a ∪ G_{u}^{0}z ≺ a. Angenommen b ⪯ G_{u}b. Dann existiert ein Teilterm d von b minimaler Länge, so daß b ⪯ G_{u}d ≺ a. Aus der Minimalität von d folgt d = D_{v}c mit G_{u}c ≺ b ⪯ c ≺ a. Da b◁_{z}a und G_{u}z ≺ b erhalten wir G_{u}b ⪯ G_{u}c ∪ G_{u}^{0}z ≺ b. Widerspruch.

Lemma 4.12 b_{0} ◁_{z} b ⇒ a + b_{0} ◁_{z} a + b und D_{v}b_{0} ◁_{z} D_{v}b.

Beweis:

1. Sei a + b_{0} ⪯ c ⪯ a + b. Dann folgt c = a + c_{0} mit b_{0} ⪯ c ⪯ b. Also folgt: G_{u}(a + b_{0}) = G_{u}a ∪ G_{u}b_{0} ⪯ G_{u}a ∪ G_{u}c_{0} ∪ G_{u}^{0}z = G_{u}c ∪ G_{u}^{0}z.

2. Sei D_{v}b_{0} ⪯ c ⪯ D_{v}b. Dann folgt c = (D_{v}c_{0}) + c_{1} mit b_{0} ⪯ c_{0} ⪯ b. Da b_{0}◁_{z}b, folgt G_{u}b_{0} ⪯ G_{u}c_{0} ∪ G_{u}^{0}z. Falls nun v ≥ u, folgt: G_{u}(D_{v}b_{0}) = {b_{0}} ∪ G_{u}b_{0} ⪯ {c_{0}} ∪ G_{u}c_{0} ∪ G_{u}^{0}z ⊂ G_{u}c ∪ G_{u}^{0}z. Falls v < u, ist G_{u}(D_{v}b_{0}) = ∅.

Lemma 4.13 a ∈ T und z ∈ dom(a) ⇒ a[z] ◁_{z} a.

Beweis durch Induktion nach Länge(a): Nach Lemma 4.8(a) gilt a[z] ≺ a. Sei a[z] ⪯ c ⪯ a. Zu zeigen ist G_{u}a ⪯ G_{u}c ∪ G_{u}^{0}z.

1. a = 1 oder a = D_{v+1}0: trivial.

2. a = D_{ω}0: G_{u}a[z] = G_{u}D_{z+1}0 ⊂ {0}.

3. a = D_{v}b mit dom(b) = {0}: Dann gilt a[z] = (D_{v}b[0])·(z + 1) und G_{u}a[z] = G_{u}D_{v}b[0]. Nach Induktionsvoraussetzung und Lemma 4.12 gilt D_{v}b[0]◁_{0}D_{v}b = a. Weiter gilt D_{v}b[0] ⪯ c ⪯ a, also G_{u}a[z] = G_{u}(D_{v}(b[0])) ⪯ G_{u}c ∪ {0}.

4. a = D_{v}b und dom(b) = T_{w} und v ≤ w < ω: a[n] = D_{v}b[ζ_{n}] mit ζ_{0} := D_{w}0, ζ_{n+1} := D_{w}b[ζ_{n}]. Falls v < u, ist G_{u}a = ∅ ⪯ G_{u}c ∪ G_{u}^{0}z. Sei u ≤ v. Dann gilt c = (D_{v}c_{0}) + c_{1} mit b[ζ_{n}] ⪯ c_{0} ⪯ b. Nach Induktionsvoraussetzung folgt ∀m(b[ζ_{m}]◁_{ζ_{m}}b). (1) Durch Nebeninduktion nach m zeigen wir ∀m ≤ n (G_{u}b[ζ_{m}] ⪯ G_{u}^{0}c): (2)

Sei m ≤ n. Dann gilt b[ζ_{m}] ⪯ b[ζ_{n}] ⪯ c_{0}.

b[ζ_{m}]◁_{ζ_{m}}b ∧ b[ζ_{m}] ⪯ b[ζ_{n}] ⪯ c_{0} ⪯ b ⇒ G_{u}b[ζ_{m}] ⪯ G_{u}c_{0} ∪ G_{u}^{0}ζ_{m}. (∗)

1. m = 0: G_{u}b[ζ_{0}] ⪯^{(∗)} G_{u}c_{0} ∪ G_{u}^{0}D_{w}0 ⊂ G_{u}^{0}c.

2. m > 0: G_{u}b[ζ_{m}] ⪯^{(∗)} G_{u}c_{0} ∪ G_{u}^{0}D_{w}b[ζ_{m−1}] = G_{u}c_{0} ∪ {b[ζ_{m−1}]} ∪ G_{u}^{0}b[ζ_{m−1}]

{Neben-IV \atop ⪯}\{b[ζ_{m−1}]\} ∪ G_{u}c_{0} ∪ G_{u}^{0}c ⪯ \{c_{0}\} ∪ G_{u}^{0}c = G_{u}^{0}c.

Aus (2) folgt dann G_{u}a[n] = \{b[ζ_{n}]\}∪G_{u}b[ζ_{n}]{(2) \atop ⪯}\{b[ζ_{n}]\}∪G_{u}^{0}c ⪯ \{c_{0}\}∪G_{u}^{0}c =

G_{u}^{0}c.

5. a = D_{v}b mit dom(b) ∈ {IN} ∪ {T_{w} | w < v}: Nach Induktionsvoraussetzung folgt b[z]◁_{z}b und mit Lemma 4.12 a[z] = D_{v}b[z]◁_{z}D_{v}b = a.

6. a = (a_{0}, …, a_{k}) (k ≥ 1): Nach Induktionsvoraussetzung folgt a_{k}[z]◁_{z}a_{k}, also mit Lemma 4.12 a[z] = (a_{0}, …, a_{k−1}) + a_{k}[z]◁_{z}(a_{0}, …, a_{k−1}) + a_{k} = a.

Beweis von Lemma 4.9 durch Induktion nach Länge(a):

1. a = (a_{0}, …, a_{k}) ∈ OT: Dann sind a_{0}, …, a_{k} ∈ OT und a_{k}[z]{4.8(a) \atop ≺}a_{k} ⪯

⋯ ⪯ a_{0}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt a_{k}[z] ∈ OT, also a[z] = (a_{0}, …, a_{k−1}) + a_{k}[z] ∈ OT

2. a = D_{v}b ∈ OT: Dann gilt b ∈ OT und G_{v}b ≺ b. 2.1. b = 0: Dann gilt a[z] = z ∈ OT oder a[z] = D_{z+1}0 ∈ OT. 2.2. dom(b) = {0}: Nach Induktionsvoraussetzung und Lemma 4.13 gilt b[0] ∈ OT und b[0]◁_{0}0. Nach Lemma 4.11 folgt aus b[0]◁_{0}b und G_{v}b ≺ b G_{v}b[0] ≺ b[0] Also gilt a[z] = (D_{v}b[0])·(z + 1) ∈ OT. 2.3. dom(b) = T_{u} mit v ≤ u < ω: Zu zeigen ist D_{v}b[ζ_{z}] ∈ OT wobei ζ_{0} := D_{u}0, ζ_{n+1} := D_{u}b[ζ_{n}] Zeige: z′ ∈ OT ∩ T_{u} ∧ G_{v}z′ ≺ b[z′] ⇒ D_{v}b[z′] ∈ OT (1) Beweis von (1): Nach Induktionsvoraussetzung folgt aus z′, b ∈ OT und z′ ∈ T_{u} = dom(b) zunächst b[z′] ∈ OT. Nach Lemma 4.13 gilt b[z′]◁_{z′}b, also, da G_{v}z′ ≺ b[z′] und G_{v}b ≺ b, mit Lemma 4.11 G_{v}b[z′] ≺ b[z′]. Es folgt D_{v}b[z′] ∈ OT. Mit Hilfe von (1) folgt dann D_{v}b[ζ_{z}] ∈ OT durch Nebeninduktion nach z:

1. z = 0: D_{u}0 ∈ OT ∩ T_{u} ∧ G_{v}D_{u}0 ⊂ \{0\} ≺ b[D_{u}0]\underrightarrow{(1)}D_{v}b[D_{u}0] ∈ OT.

2. z > 0: Nach Nebeninduktionsvoraussetzung gilt D_{v}b[ζ_{z−1}] ∈ OT, also b[ζ_{z−1}] ∈ OT ∧ G_{v}b[ζ_{z−1}] ≺ b[ζ_{z−1}]. Da v ≤ u, folgt G_{u}b[ζ_{z−1}] ≺ b[ζ_{z−1}], also wegen b[ζ_{z−1}] ∈ OT gilt ζ_{z} = D_{u}b[ζ_{z−1}] ∈ OT. Aus ζ_{z} ∈ OT und G_{v}ζ_{z} = {b[ζ_{z−1}]} ∪ G_{v}b[ζ_{z−1}] ⪯ b[ζ_{z−1}] ≺ b[ζ_{z}] folgt mit (1) dann D_{v}b[ζ_{z}] ∈ OT. 2.4. dom(b) ∈ {IN} ∪ {T_{u} | u < v}: Nach Induktionsvoraussetzung und Lemma 4.13 gilt b[z] ∈ OT und b[z]◁_{z}b. Da z ∈ dom(b) ∈ {IN}∪{T_{u} | u < v} gilt G_{v}z = ∅ ≺ b[z]. Nach Lemma 4.11 folgt aus b[z]◁_{z}b, G_{v}b ≺ b, G_{v}z ≺ b[z] dann G_{v}b[z] ≺ b[z]. Also gilt a[z] = D_{v}b[z] ∈ OT.

Lemma 4.14 dom(b) = T_{u} und G_{u}c ≺ a und c ≺ b ⇒ c ≺ b[D_{u}a].

Beweis durch Induktion nach Länge(b): A. b = D_{u+1}0: G_{u}c ≺ a ∧ c ≺ D_{u+1}0 ⇒ c ≺ D_{u}a = b[D_{u}a].

[Falls c = D_{w}c_{0} + c_{1} mit w < u, ist dies klar.

Falls c = D_{u}c_{0} + c_{1}, folgt aus c_{0} ∈ G_{u}c ≺ a c ≺ D_{u}a.] B. b = D_{v}b_{0} mit u < v und dom(b_{0}) = T_{u}, b[z] = D_{v}b_{0}[z]: Fallunterscheidung:

1. Falls c = D_{w}c_{0} + c_{1} mit w < v, ist die Behauptung trivial.

2. Falls c = D_{v}c_{0} + c_{1}, folgt aus G_{u}c_{0} ⊂ G_{u}c ≺ a und c_{0} ≺ b_{0} mit Induktionsvoraussetzung c_{0} ≺ b_{0}[D_{u}a]. Daraus folgt nun c = D_{v}c_{0} + c_{1} ≺ D_{v}b_{0}[D_{u}a] = b[D_{u}a]. C. b = (b_{0}, …, b_{k}) mit k ≥ 1, dom(b_{k}) = T_{u}. Dann gilt b[z] = (b_{0}, …, b_{k−1})+ b_{k}[z]. Sei c = (c_{0}, …, c_{l}) mit l ≥ 0.

1. l < k ∧ c_{0} = b_{0} ∧ ⋯ ∧ c_{l} = b_{l}: Wegen b_{k}[D_{u}a] ≠ 0 folgt c ≺ b[D_{u}a].

2. Sei m ≤ min{k, l} und c_{m} ≺ b_{m} und ∀i < m(c_{i} = b_{i}). 2.1. m < k: Dann gilt c ≺ (b_{0}, …, b_{m}) ≺ b[D_{u}a]. 2.2. m = k: Dann folgt aus G_{u}c_{k} ⊂ G_{u}c ≺ a und c_{k} ≺ b_{k} mit Induktionsvoraussetzung c_{k} ≺ b_{k}[D_{u}a]. Also folgt c = (c_{0}, …, c_{k}, …, c_{l}) ≺ (b_{0}, …, b_{k−1}) + b_{k}[D_{u}a] = b[D_{u}a].

Satz 4.15 a, c ∈ OT und o(a) Limeszahl und a[0] ⪯ c ≺ a ⇒ ∃x ∈ OT ∩ dom(a) (a[x] ⪯ c ≺ a[x + 1]).

Beweis durch Induktion nach Länge(a).

1. a = D_{u+1}0: Aus c ≺ a folgt c ∈ T_{u} = dom(a) also a[c] = c ≺ c + 1 = a[c + 1].

2. a = D_{ω}0: Aus D_{1}0 = a[0] ⪯ c ≺ a folgt c = D_{u}c_{0} + c_{1} mit 1 ≤ u < ω. Also a[u − 1] = D_{u}0 ⪯ c ≺ D_{u+1}0 = a[u].

3. a = D_{v}b mit b ≠ 0. 3.1. dom(b) = {0}: Dann gilt b = b[0] + 1. Aus D_{v}b[0] = a[0] ⪯ c ≺ D_{v}b = a folgt dann c = (D_{v}b[0])·(n + 1) + c_{1} mit (da c ∈ OT) c_{1} ≺ D_{v}b[0]. Es folgt a[n] = (D_{v}b[0])·(n + 1) ⪯ c ≺ (D_{v}b[0])·(n + 2) = a[n + 1]. 3.2. dom(b) ∈ {IN} ∪ {T_{u} | u < v}: Dann gilt dom(a) = dom(b) und a[z] = D_{v}b[z]. Aus D_{v}b[0] = a[0] ⪯ c ≺ a = D_{v}b folgt c = (D_{v}c_{0}) + c_{1} mit b[0] ⪯ c_{0} ≺ b. Nach Induktionsvoraussetzung gilt b[z] ⪯ c_{0} ≺ b[z + 1] für ein z ∈ OT ∩ dom(b) = OT ∩ dom(a). Es folgt a[z] = D_{v}b[z] ⪯ D_{v}c_{0} ≺ D_{v}b[z+1] = a[z+1], also a[z] ⪯ c ≺ a[z+1].

3.3. dom(b) = T_{u} mit v ≤ u < ω: Dann gilt dom(a) = IN, a[n] = D_{v}b[ζ_{n}] mit ζ_{0} = D_{u}0, ζ_{n+1} = D_{u}b[ζ_{n}]. Aus a[0] ⪯ c ≺ a folgt c = (D_{v}c_{0}) + c_{1} mit b[D_{u}0] ⪯ c_{0} ≺ b. Durch Nebeninduktion nach Länge(d) zeigen wir: G_{u}d ≺ b ⇒ ∃n (G_{u}d ≺ b[ζ_{n}]). (∗) Beweis: Sei zunächst d = D_{w}d_{0} mit u ≤ w. Dann gilt {d_{0}}∪G_{u}d_{0} = G_{u}d ≺ b, also nach Nebeninduktionsvoraussetzung ∃m(G_{u}d_{0} ≺ b[ζ_{m}]). Nach Lemma 4.14 folgt aus dom(b) = T_{u}∧G_{u}d_{0} ≺ b[ζ_{m}]∧d_{0} ≺ b zunächst d_{0} ≺ b[D_{u}b[ζ_{m}]] = b[ζ_{m+1}], also G_{u}d = {d_{0}} ∪ G_{u}d_{0} ≺ b[ζ_{m+1}]. Falls d = D_{w}d_{0} mit w < u, gilt G_{u}d = ∅ ≺ b[ζ_{0}]. Der Fall d = (d_{0}, …, d_{r}) mit r ≥ 1 folgt direkt aus der Nebeninduktionsvoraussetzung. Aus c ∈ OT und v ≤ u folgt nun G_{u}c_{0} ⊂ G_{v}c_{0} ≺ c_{0} ≺ b, also mit (∗) ∃n(G_{u}c_{0} ≺ b[ζ_{n}]). Mit Lemma 4.14 folgt nun aus dom(b) = T_{u} ∧ G_{u}c_{0} ≺ b[ζ_{n}] ∧ c_{0} ≺ b dann c_{0} ≺ b[D_{u}b[ζ_{n}]] = b[ζ_{n+1}]. Also gilt c = D_{v}c_{0} + c_{1} ≺ D_{v}b[ζ_{n+1}] = a[n + 1]. Ist nun n minimal mit c ≺ a[n + 1], so folgt a[n] ⪯ c ≺ a[n + 1].

4. a = (a_{0}, …, a_{k}) mit k ≥ 1: Dann gilt dom(a) = dom(a_{k}) und a[z] = (a_{0}, …, a_{k−1})+a_{k}[z]. Aus (a_{0}, …, a_{k−1})+a_{k}[0] ⪯ c ≺ (a_{0}, …, a_{k−1})+a_{k} folgt c = (a_{0}, …, a_{k−1}) + c′ mit a_{k}[0] ⪯ c′ ≺ a_{k}. Nach Induktionsvoraussetzung folgt a_{k}[z] ⪯ c′ ≺ a_{k}[z + 1] für ein z ∈ dom(a_{k}) ∩ OT = dom(a) ∩ OT. Also gilt a[z] ⪯ c ≺ a[z + 1].

Folgerung 4.16 a ∈ OT, a ≺ D_{1}0, o(a) Limeszahl ⇒ dom(a) = IN, o(a) = sup{o(a[n]) | n ∈ IN}.

Beweis: dom(a) = IN folgt nach Lemma 4.7(a),(b). Für n ∈ IN gilt nach Lemmata 4.8(a) und 3.10 (c) o(a[n]) ≺ o(a), also auch sup{o(a[n]) | n ∈ IN} ≤ o(a). Sei umgekehrt γ < o(a). Nach Lemma 3.11 (a) existiert wegen a ≺ D_{1}0 ein b ∈ OT mit γ = o(b). Nach Satz 4.15 folgt ∃n ∈ IN (b ≺ a[n]), also γ = o(b) < o(a[n]). Also gilt sup{o(a[n]) | n ∈ IN} ≥ o(a).

Definition 4.17 (1) T_{u}^{Ord} := {o(a) | a ∈ T_{u} ∩ OT} = C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{u+1}, IN^{Ord} := ω ⊂ Ord.

(2) α, β ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), a, b ∈ OT, o(a) = α, o(b) = β, b ∈ dom(a). Dann dom(α) := ∅ bzw. {0} bzw. IN^{Ord} bzw. T_{u}^{Ord}, falls dom(a) = ∅ bzw. {0} bzw. IN bzw. T_{u}, und α[β] := o(a[b]). Wir schreiben im folgenden für IN^{Ord} kurz IN und für T_{u}^{Ord} T_{u}, also in vereinfachender Kurzschreibweise dom(α) = dom(a), falls α = o(a).

Berechnung von ω^{α} für

α ∈ C0(ϵΩ_{ω}+1)

In die Definition von ψ_{v} gingen die Funktionen ω^{α} und ϕ_{α}β nicht ein und auch eine Multiplikation ist zunächst nicht bekannt. In diesem Kapitel wird untersucht, wie sich ω^{α} für α ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) verhält. Mit Hilfe der Cantor-Normalform können wir damit auch die Multiplikation in C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) berechnen.

Lemma 5.1 β ∈ C_{s}(β) ∩ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), dom(β) = T_{s}, α < ψ_{s}β, α ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ α < ψ_{s}(β[α]).

Beweis: Der Fall α < ψ_{s}0 ist klar. Gilt ψ_{s}0 ≤ α < ψ_{s}(β[ψ_{s}0]), dann ist die Behauptung ebenfalls klar. Ansonsten folgt ψ_{s}(β[ψ_{s}0]) = (ψ_{s}β)[0] ≤ α < ψ_{s}β.

\underrightarrow{4.15}∃n ((ψ_{s}β)[n] ≤ α < (ψ_{s}β)[n + 1]).
⇒ α < (ψ_{s}β)[n + 1] = ψ_{s}(β[ζ_{n+1}])
= ψ_{s}(β[ψ_{s}(β[ζ_{n}])])
= ψ_{s}(β[(ψ_{s}β)[n]])
≤ ψ_{s}(β[α]).

5. Berechnung von ω^{α} für α ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) 28

Lemma 5.2 Sei Ω_{s} ≤ β ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) γ ∈ On. ⇒ ∃ρ, ν ∈ On (β = ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ) + ν ∧ ν < ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · (ρ + 1)) ∧ Ω_{s+1}^{γ} · ρ ∈ C_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ)).

Beweis: Sei β=_{NF} β_{1} + β_{2} β_{1} ∈ P. ⇒ Ω_{s} ≤ β_{1} ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}). ⇒ ∃ξ(ξ ∈ C_{s}(ξ) ∧ β_{1} = ψ_{s}(ξ)). ⇒ ∃ρ(Ω_{s+1}^{γ} · ρ ≤ ξ < Ω_{s+1}^{γ} · (ρ + 1)). Da ξ ∈ C_{s}(ξ), folgt nach Lemma 2.6 ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ) ≤ ψ_{s}(ξ) < ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · (ρ + 1)). ∃α(α ∈ C_{s}(α) ∧ ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ) = ψ_{s}(α)). ⇒ Ω_{s+1}^{γ} · ρ ≤ α < Ω_{s+1}^{γ} · (ρ + 1) = Ω_{s+1}^{γ} · ρ + Ω_{s+1}^{γ}. ⇒ ∃α_{1}(α = Ω_{s+1}^{γ} · ρ + α_{1} ∧ α_{1} ≤ Ω_{s+1}^{γ}). Aus α ∈ C_{s}(α) folgt dann aber nach Lemma 2.17 Ω_{s+1}^{γ} · ρ ∈ C_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ). Falls β_{1} = ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ), folgt β = ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ) + β_{2}, mit β_{2} < ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · (ρ + 1)), ansonsten ist mit β_{1} < ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · (ρ + 1)) β < ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · (ρ + 1)), und β = ψ_{s}(Ω_{s+1}^{γ} · ρ) + β.

Satz 5.3 β ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1}, β ≥ Ω_{s}. Dann gibt es α, δ, so daß δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)), 1 + β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ,

Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α), und es gilt dann:

ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ) und Ω_{s+1} · α + δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ).

Beweis: Wegen Lemma 2.10(a) sei o.E. β ≥ ω, also β = 1 + β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ.

1) Nach Lemma 5.2 folgt: Jedes β besitzt eine Darstellung β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ mit δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)), Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α).

2) Zeige β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ mit δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)) ⇒ Ω_{s+1} · α + δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ). Wegen Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α) ⊂ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ) genügt es zu zeigen δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ). Fall i) δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · α).

δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α) ⊂ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ).

Fall ii) δ ∈ P, δ ≥ ψ_{s}(Ω_{s+1} · α). Da β ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1} und dieses Ordinalzahlabschnitt, folgt, da δ ≤ β, δ ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1},

⇒^{δ≥Ω_{s}, Lem. 2.7(b)} ∃ξ ∈ On (δ = ψ_{s}ξ ∧ ξ ∈ C_{s}(ξ)).

Aus ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) ≤ δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)) und Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α) folgt Ω_{s+1} · α ≤ ξ < Ω_{s+1}·(α + 1), also ∃δ′ < Ω_{s+1} (ξ = Ω_{s+1} · α + δ′). Weiter Ω_{s+1} · α + δ′ = ξ ∈ C_{s}(ξ).

\underrightarrow{2.4(g)}δ′ ∈ C_{s}(ξ).

⇒^{δ′<Ω_{s+1}} δ′ < ψ_{s}(ξ) = δ.

⇒ ξ = Ω_{s+1} · α + δ′ < Ω_{s+1} · α + δ.

⇒^{ξ∈C_{s}(ξ)} δ = ψ_{s}ξ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ).

⇒ δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ). Fall iii) δ ∉ P.

Aus Fall i),ii) folgt ∀δ̃ ∈ P (δ) (δ̃ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ̃) ⊂ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ)) also δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ).

3) Zeige: (β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ mit δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1))

⇒ ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ)). Beweis durch transfinite Induktion nach β: (Beachte im folgenden C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1} ist ein Ordinalzahlabschnitt.) Fall 1: β = ω.

β = 1 + β = ψ_{0}(Ω_{1} · 0) + β.

ω^{β}{Lem. 2.10(a) \atop =}ψ_{0}(β) = ψ_{0}(ψ_{0}(Ω_{1} · 0) + β).

Fall 2: β = Ω_{s} (s ≠ 0).

β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · 0), ω^{β} = Ω_{s} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · 0). Fall 3: β = β̃ + 1.

Sei β̃ = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ (δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)). Nach Induktionsvoraussetzung gilt ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ)

und nach 1) Ω_{s+1} · α + δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ). Nach Lemma 2.9(a) gilt ω^{β+1} = min{γ ∈ P | ω^{β} < γ}

=^{IV} min{γ ∈ P | ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ) < γ}

= ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + (δ + 1)).

Fall 4 β ∈ Lim.

Fall 4.1. β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ mit 0 < δ ∈ Lim und δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)). ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ)

{2.9(b) \atop =} sup\{ψ_{s}γ | γ < Ω_{s+1} · α + δ ∧ γ ∈ C_{s}(γ)\}

= sup{ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + γ) | γ < δ Ω_{s+1} · α + γ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + γ)}

[denn Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α) und ψ(·) ist monoton]

=^{IV} sup{ω^{ψ_{s}(Ω_{s+1}·α)+γ} | γ < δ}

= ω^{ψ_{s}(Ω_{s+1}·α)+δ} = ω^{β}.

Fall 4.2. β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) (α ≠ 0).

Zu zeigen ist ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) = β, d.h. β ist Epsilonzahl, d.h. ∀γ < β (ω^{γ} < β). Sei also γ < β. Falls γ < Ω_{s}, folgt ω^{γ} < Ω_{s} < β. Falls γ ≥ Ω_{s}, folgt aus β ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1} Ordinalzahlabschnitt γ ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1}.

\underrightarrow{1)}γ = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α̃) + δ̃ mit Ω_{s+1} · α̃ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α̃) und nach Induktionsvoraussetzung folgt ω^{γ} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α̃ + δ̃) und Ω_{s+1} · α̃ + δ̃ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α̃ + δ̃). Da γ < β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α), folgt Ω_{s+1} · α̃ < Ω_{s+1} · α, also α̃ < α. Also gilt Ω_{s+1} · α̃ + δ̃ < Ω_{s+1} · (α̃ + 1) ≤ Ω_{s+1} · α, und da Ω_{s+1} · α̃ + δ̃ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α̃ + δ̃),

folgt ω^{γ} =^{IV}ψ_{s}(Ω_{s+1} · α̃ + δ̃) < ψ_{s}(Ω_{s+1} · α).

Folgerung 5.4 Sei Ω_{s} ≤ β ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1}, β ≠ 1. β ist Epsilonzahl ⇔ ∃α(β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) ∧ Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α)).

Beweis: ” ⇐ “ ist klar nach Lemma 5.3. Sei also β Epsilonzahl, α, δ wie in Lemma 5.3, d.h. 1 + β = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α) + δ mit δ < ψ_{s}(Ω_{s+1}·(α + 1)) und Ω_{s+1}·α ∈ C_{s}(Ω_{s+1}·α). Dann folgt β = ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ). Wäre δ ≠ 0, so wäre β = δ < Ω_{s+1}. Da Ω_{s+1} · α + δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ), folgt δ ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α + δ), also β = δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ) = β. Widerspruch.

Lemma 5.5 Sei α = ψ_{m}β mit β ∈ C_{m}(β) β = Ω_{m+1} · γ + δ δ < Ω_{m+1}.

(a) Sei m > 0 oder γ > 0. ⇒ α = ω^{ψ_{m}(Ω_{m+1}·γ)+δ}, wobei δ < ψ_{m}(Ω_{m+1}·(γ+1)), Ω_{m+1}·γ ∈ C_{m}(Ω_{m+1}·γ).

(b) Ist m = 0, γ = 0, so ist α = ω^{β}.

Beweis:

β ∈ C_{m}(β)\underrightarrow{2.4(g)}δ ∈ C_{m}(β).

⇒^{δ<Ω_{m+1}} δ < ψ_{m}β < ψ_{m}(Ω_{m+1} · (γ + 1)).

Weiter folgt aus β=_{NF} Ω_{m+1} · γ + δ und β ∈ C_{m}β mit Lemma 2.17

Ω_{m+1} · γ ∈ C_{m}(Ω_{m+1} · γ). Aus Lemma 5.3 und obigem folgt die Behauptung.

Folgerung 5.6 ω^{γ} ∈ C_{s}(δ) ⇒ γ ∈ C_{s}(δ).

Beweis: Falls ω^{γ} < Ω_{s}, folgt γ < Ω_{s} also γ ∈ C_{s}(δ). Ansonsten folgt wegen ω^{γ} ∈ P ∃m ≥ s∃ξ ∈ δ∩C_{s}(δ)(ξ ∈ C_{m}(ξ)∧ω^{γ} = ψ_{m}ξ). Sei ξ = Ω_{m+1} · ξ_{1} + ξ_{2} mit ξ_{2} < Ω_{m+1}. Falls m = 0 und ξ_{1} = 0, folgt γ = ξ_{2} = ξ ∈ C_{s}(δ). Ansonsten folgt nach Lemma 5.5 ω^{γ} = ω^{ψ_{m}(Ω_{m+1}·ξ_{1})+ξ_{2}} wobei ξ_{2} < ψ_{m}(Ω_{m+1}(ξ_{1} + 1)) und Ω_{m+1} · ξ_{1} ∈ C_{m}(Ω_{m+1} · ξ_{1}). Also folgt γ = ψ_{m}(Ω_{m+1} · ξ_{1}) + ξ_{2}. Aus ξ ∈ C_{s}(δ) ∩ C_{m}(ξ) und ξ=_{NF} Ω_{m+1} · ξ_{1} + ξ_{2} folgt Ω_{m+1} · ξ_{1}, ξ_{2} ∈ C_{s}(δ),

Ω_{m+1}·ξ_{1} ≤ Ω_{m+1}·ξ_{1}+ξ_{2} < δ, und mit Lemma 2.17 Ω_{m+1}·ξ_{1} ∈ C_{m}(Ω_{m+1}·ξ_{1}). Also folgt auch ψ_{m}( Ω_{m+1} · ξ_{1}) ∈ C_{s}(δ), und damit

γ = ψ_{m}( Ω_{m+1} · ξ_{1}) + ξ_{2} ∈ C_{s}(δ).

Berechnung von ϕ_{α}β für

α, β < ψ0(ϵΩ_{ω}+1)

In diesem Kapitel untersuche ich, wie sich ϕ_{α}β für α, β ∈ ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) verhält. Dabei sei ϕ_{α}(·) wie üblich die Aufzählungsfunktion aller α-kritischen Ordinalzahlen. Diese Funktionen werden für die Schnittelimination wesentlich sein.

Lemma 6.1 Sei 0 < α < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}). ⇒ ∃ρ, ν (α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) + ν)

mit Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) und ν < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1)), und es gilt dann Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}).

Beweis:

1) Aus Lemma 5.2 folgt die Darstellung α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) + ν mit Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) und ν < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1))

2) Da Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ⊂ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}), genügt es Ω_{1}^{α} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}) zu zeigen. Der Fall α = 1 ist trivial (ρ = 0). Sei also α > 1 und α = 1 + ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{k}}. mit α_{1} ≥ ⋯ ≥ α_{k}. Dann gilt Ω_{1}^{α} = ω^{Ω_{1}·α}

= ω^{Ω_{1}+ω^{Ω_{1}+α_{1}}+···+ω^{Ω_{1}+α_{k}}}

= ω^{Ω_{1}+ψ_{1}α_{1}+···+ψ_{1}α_{k}}

6. Berechnung von ϕ_{α}β für α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) 33

= ψ_{1}(ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k}).

[Beachte α_{i}, ω^{Ω_{1}+α_{i}} < ϵ_{Ω_{1}+1} und Lemma 2.10(b).] α_{i} ≤ α < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1)). ⇒ α_{i} < ψ_{0}((Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{Ω_{1}})[α_{i}]) [nach Lemma 5.1]

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + (ψ_{1}ψ_{1}ψ_{1}0[α_{i}])) [Ω_{1}^{Ω_{1}} = ω^{Ω_{1}+ω^{Ω_{1}+Ω_{1}}} {2.10(b) \atop =}ψ_{1}ψ_{1}ψ_{1}0]

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + ψ_{1}ψ_{1}α_{i})

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + ω^{(Ω_{1}+ω^{(Ω_{1}+α_{i})})}) = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{(1+ω^{α_{i}})}) ≤ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}).

⇒ α_{i} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}). Da α_{i} < Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}, und α_{i} ∈ C_{1}(α_{i}), folgt ψ_{1}α_{i} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}). Da ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k} =

= Ω_{1} · (ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{k}})

≤ Ω_{1} · α < Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α},

und ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k} ∈ C_{1}(ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k}), [da < ϵ_{Ω_{1}+1}] folgt ψ_{1}(ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k}) ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}), also Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}).

Lemma 6.2 Sei α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) + ν > 0

mit ν < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1)) und Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ).

(a) Ist β < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}) so gilt:

Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β).

(b) Gilt β ≥ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}) dann gibt es β_{1}, β_{2}, so daß gilt: β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}) + β_{2}, Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}), und β_{2} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · (β_{1} + 1)), und es folgt dann: Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}).

Beweis: 1)Die Darstellung von β in (b) folgt aus Lemma 5.2. 2)Wir setzen im Fall (a) β_{1} := 0 und β_{2} := β. Zeige: (β_{2} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · (β_{1} + 1)) und

Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}))

⇒ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}).

Wegen Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}) genügt es Ω_{1}^{α} · β_{2} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}) zu zeigen. Sei o.E. β_{2} > 0, β_{2} = ω^{δ_{1}} + ⋯ + ω^{δ_{k}} mit δ_{1} ≥ ⋯ ≥ δ_{k}. Ω_{1}^{α} · β_{2} = ω^{Ω_{1}·α+δ_{1}} + ⋯ + ω^{Ω_{1}·α+δ_{k}}

= ψ_{1}(Ω_{1} · γ + δ_{1}) + ⋯ + ψ_{1}(Ω_{1} · γ + δ_{k}), wobei α = 1 + γ. Da ψ_{1}(Ω_{1} ·γ) = Ω_{1}^{α} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} ·ρ+Ω_{1}^{α}) ⊂ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} ·ρ+Ω_{1}^{α+1} ·β_{1} +Ω_{1}^{α} ·β_{2}),

[nach Lemma 6.1] und Ω_{1}·γ ∈ C_{1}(Ω_{1}·γ), ist Ω_{1} · γ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}). δ_{i} ≤ β_{2} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α+1})

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + ω^{Ω_{1}+Ω_{1}·γ+Ω_{1}})

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + ψ_{1}(Ω_{1} · γ + Ω_{1})). ⇒ δ_{i} < ψ_{0}((Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + ψ_{1}(Ω_{1} · γ + Ω_{1}))[δ_{i}]) [Lemma 5.1]

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + ψ_{1}(Ω_{1} · γ + δ_{i}))

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + ω^{Ω_{1}+Ω_{1}·γ+δ_{i}})

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · ω^{δ_{i}})

≤ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}). ⇒ δ_{i} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}). Da weiter Ω_{1} · γ + δ_{i} < Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2},

[falls α > 1 folgt dies aus Ω_{1}·γ + δ_{i} < Ω_{1}^{2} ≤ Ω_{1}^{α}·β_{2}

falls α = 1 folgt γ = 0, δ_{i} < Ω_{1} ≤ Ω_{1}·β_{2}]

und Ω_{1} · γ + δ_{i} ∈ C_{1}(Ω_{1} · γ + δ_{i}), [da < ϵ_{Ω_{1}+1}] folgt ψ_{1}(Ω_{1} · γ + δ_{i}) ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}), also Ω_{1}^{α} · β_{2} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}).

Definition 6.3 Definition von ϕ̃_{α}β für α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}): Sei 1 + α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) + ν, mit ν < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1)) und Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ). [gemäß Lemma 6.1] Ist β < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}), so sei,

falls ν = 0, β_{1} := 0 β_{2} := β,

falls ν ≠ 0, β_{1} := 0 β_{2} := 1 + β. Ansonsten sei β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}) + β_{2} mit β_{1} ≠ 0,

Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1})

und β_{2} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · (β_{1} + 1)). In allen Fällen sei ϕ̃_{α}β := ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}).

Lemma 6.4

(a) ϕ̃_{0}β = ω^{β}.

(b) β_{0} < β ⇒ ϕ̃_{α}β_{0} < ϕ̃_{α}β.

(c) α ≤ ϕ̃_{α}β.

(d) β ≤ ϕ̃_{α}β.

β = ϕ̃_{α}β ⇔ ∃η > 0 (β = ψ_{0}(Ω_{1}^{α+1} · η) mit Ω_{1}^{α+1}·η ∈ C_{0}(Ω_{1}^{α+1}·η),

und Ω_{1}^{α+1} · η ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}
(falls ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ≤ 1 + α < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1))).

Beweis:

(a) folgt aus Satz 5.3.

(b) Lemmata 2.6 und 6.2.

(c) Falls ν = 0, folgt α ≤ 1 + α = ϕ̃_{α}0 ≤ ϕ̃_{α}β. Falls ν ≠ 0, folgt nach Lemma 6.2(a) Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}) ⇒ ω^{Ω_{1}·α} = Ω_{1}^{α} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α})

\underrightarrow{5.6}Ω_{1}·α ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}). Sei α=_{NF} ω^{α_{1}} + α_{2}. ⇒ ω^{Ω_{1}+α_{1}} = Ω_{1}·ω^{α_{1}} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α})

\underrightarrow{5.6}Ω_{1} + α_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}) ⇒ α_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}) ⇒ α_{1} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}) ist Epsionzahl ⇒ α < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}) = ϕ̃_{α}0 ≤ ϕ̃_{α}β.

(d) Der Fall α = 0 ist klar nach (a), der Fall β = 0 trivial. Seien deshalb α, β > 0. Ist β < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}) so ist

β ≠ ψ_{0}(Ω_{1}^{α+1} · η) mit Ω_{1}^{α+1} · η ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} und

Ω_{1}^{α+1}·η ∈ C_{0}(Ω_{1}^{α+1}·η). Ist β=_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}, so folgt nach Lemma 6.2(a) Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β), also Ω_{1}^{α} · β=_{NF} ω^{Ω_{1}·α+β_{1}} + Ω_{1}^{α} · β_{2} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β).

\underrightarrow{5.6}Ω_{1} · α + β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β).

⇒ β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β).

Da β_{1} < Ω_{1}, folgt β_{1} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β) ≤ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ + Ω_{1}^{α}·(1 + β)). Da ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β) und ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ + Ω_{1}^{α}·(1 + β) Epsilonzahlen, folgt β < ϕ̃_{α}β.

Sei nun β ≥ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}), β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}) + β_{2} gemäß Lemma 6.2(b).

Ist β_{2} = 0, so ist β = ψ_{0}(Ω_{1}^{α+1} · η)

mit Ω_{1}^{α+1} · η ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} und Ω_{1}^{α+1}·η ∈ C_{0}(Ω_{1}^{α+1}·η)

und ϕ̃_{α}β = β. Ist β=_{NF} ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}) + β_{2} mit β_{2} ≠ 0,

so ist β < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + 1)

≤ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2})

= ϕ̃_{α}β

und β ≠ ψ_{0}(Ω_{1}^{α+1} · η). Ansonsten ist β = β_{2}.

Sei β=_{NF} ω^{β_{3}} + β_{4}.

Aus Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}) folgt wie im Fall β < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}) dann β_{3} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2})

= ϕ̃_{α}β ist Epsilonzahl, also β < ϕ̃_{α}β und β ≠ ψ_{0}(Ω_{1}^{α+1} · η).

Lemma 6.5

(a) α > α_{0} ⇒ ϕ̃_{α_{0}}(ϕ̃_{α}β) = ϕ̃_{α}β.

(b) (∀ξ < α (ϕ̃_{ξ}β = β) ∧ α ≥ 1) ⇒ ∃γ (ϕ̃_{α}γ = β).

Beweis:

(a) ϕ̃_{α}β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2})

= ψ_{0}(Ω_{1}^{α_{0}+1} · η),

mit Ω_{1}^{α_{0}+1}·η ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{0} + Ω_{1}^{α_{0}+1} und Ω_{1}^{α_{0}+1}·η ∈ C_{0}(Ω_{1}^{α_{0}+1}·η), falls ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ_{0}) ≤ α_{0} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ_{0} + 1)), und ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ≤ α < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1)).

Mit Lemma 6.4(d) folgt die Behauptung.

(b) Sei ∀ξ < α (ϕ̃_{ξ}β = β). Dann folgt β = ϕ̃_{0}β = ω^{β}. ⇒ ∃δ(β = ψ_{0}δ ∧ δ ∈ C_{0}(δ)). Sei δ = Ω_{1}^{ρ_{1}} · δ_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{ρ_{k}} · δ_{k} die Cantornormalform zur Basis Ω_{1}. Aus ∀ξ < α(ϕ̃_{ξ}β = β) folgt nach Lemma 6.4(d)

∀ξ < α (ρ_{i} ≥ ξ + 1), also folgt ∃η (δ = Ω_{1}^{α} · η). Weiter folgt aus Lemma 6.4(c) ∀ξ < α(Ω_{1}^{α} · η ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ_{ξ} + Ω_{1}^{ξ+1}),

falls ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ_{ξ}) ≤ ξ < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ_{ξ} + 1)). Beh.: δ ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ, falls α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ), ρ ≠ 0, Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ), und δ ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}, falls α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) + ν

mit ν ≠ 0 oder ρ ≠ 0, Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ). Beweis: Falls α_{0} := ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) < α < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · (ρ + 1)), folgt δ > Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α_{0}+1}, also, da δ = Ω_{1}^{α} · η,

δ ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}. Falls α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) > 1, folgt aus

∀ξ < α (ξ ≤ ϕ̃_{ξ}β = β) und α ∈ Lim

β ≥ α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ), also δ ≥ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ. Falls α = 1, folgt aus β = ω^{β} δ ≥ Ω_{1} = Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α}. Damit können wir schreiben: β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2}), mit δ := Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2} ∈ C_{0}(δ), und Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2} ≥ Ω_{1}^{α}, falls ρ = 0 oder α > ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ). Betrachte zunächst den Fall β_{1} = 0: Sei β_{2} = 1 + γ, falls ρ = 0 oder α > ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ), β_{2} = γ ansonsten. Beh. γ < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}). Bew. o.E. sei β_{2} > 0 β_{2}=_{NF} ω^{β_{3}} + β_{4}.

Aus δ ∈ C_{0}(δ) folgt Ω_{1}^{α} · β_{2}=_{NF} Ω_{1}^{α} · ω^{β_{3}} + Ω_{1}^{α} · β_{4} ∈ C_{0}(δ), also ω^{Ω_{1}·α+β_{3}} = Ω_{1}^{α} · ω^{β_{3}} ∈ C_{0}(δ).

\underrightarrow{5.6}β_{3} < ψ_{0}(δ) ist Epsilonzahl.

⇒ γ ≤ β_{2} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α} · β_{2}) ≤ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}), also die Zwischenbehauptung.

Es folgt ϕ̃_{α}γ = β.

Im Fall β_{1} ≠ 0 folgt wie eben (mit γ statt β_{2}) β_{2} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{2})

≤ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · (β_{1} + 1)). Es folgt ϕ̃_{α}(ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}) + β_{2}) = β.

Satz 6.6 Sei ϕ_{α} die Aufzählungsfunktion aller α-kritischen Ordinalzahlen. Seien α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}). Dann gilt: ϕ̃_{α}β = ϕ_{α}β.

Beweis: Lemma 6.4 (a), (b) und Lemma 6.5.

Fundamentalfolgen für ω^{β} und

ϕαβ

In diesem Kapitel wird untersucht, wie die in Kapitel 4 definierten Fundamentalfolgen für ω^{α} und ϕ_{α}β lauten. Es wird sich herausstellen, daß hierbei relativ viele Fallunterscheidungen auftreten.

Lemma 7.1 Die Fundamentalfolgen für ω^{β}: Sei Ω_{s} ≤ β ∈ C_{s}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Ω_{s+1}.

(a) Ist β Nachfolgerzahl, β = γ +1 so ist dom(ω^{β}) = IN, ω^{β}[n] = ω^{γ} ·(n+1).

(b) Sei β ∈ Lim:

Generell gilt dom(ω^{β}) = dom(β).

(i) Falls β = ω^{γ+1} für eine Epsilonzahl γ, d.h.

β = ψ_{s}(Ω_{s+1} + 1), folgt

dom(ω^{β}) = IN, ω^{β}[n] = ω^{β[n+1]}. (ii) Falls β = ω^{ϵ+Ω_{m}} für eine Epsilonzahl ϵ ≥ Ω_{m} > 1, d.h. β = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α + Ω_{m}) für ein 1 ≤ m ≤ s, folgt ω^{β}[0] = ω^{β[0]·2}, ω^{β}[x] = ω^{β[x]} für 0 ≠ x ∈ dom(β) = T_{m−1}.

(iii) Falls β = Ω_{s+1}, gilt dom(ω^{β}) = T_{s}, ω^{β}[x] = β[x] = x.

7. Fundamentalfolgen für ω^{β} und ϕ_{α}β 39

(iv) Falls β = ϵ_{ν+1} mit Ω_{s} ≤ β < Ω_{s+1}, d.h. ∃α(β = ψ_{s}(Ω_{s+1}·(α + 1))), folgt dom(ω^{β}) = IN, ω^{β}[0] = β[0] = ω^{ϵ_{ν}+Ω_{s}} = ω^{ψ_{s}(Ω_{s+1}·α)+Ω_{s}}, ω^{β}[n + 1] = ω^{(ω^{β}[n])}, also ω^{β[n]} = ω^{β}[n + 1].

(v) In allen anderen Fällen ist ω^{β}[x] = ω^{β[x]}.

Beweis: Fall 1 0 < β < ω:

β = γ + 1, dom(β) = IN, ω^{β}[n] = ψ_{0}(γ) · (n + 1) = ω^{γ} · (n + 1). Fall 2 ω < β Nachfolgerzahl:

Sei β = γ + 1, γ = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ′ mit δ′ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)) und Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α). Es gilt dann ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ′ + 1), also dom(ω^{β}) = IN, ω^{β}[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ′) · (n + 1) = ω^{γ} · (n + 1).

Fall 3 β ∈ Lim, β keine Epsilonzahl:

Es gilt dann β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + δ mit 0 < δ < ψ_{s}(Ω_{s+1} · (α + 1)), Ω_{s+1} · α ∈ C_{s}(Ω_{s+1} · α), dom(β) ∈ {IN} ∪ {T_{u} | u < s}. Fall 3.1. δ ∉ P oder δ ≤ ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) oder δ = ω:

⇒ dom(β) = dom(δ), 1 + β[x] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + (δ[x]).

ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + δ).

dom(ω^{β}) = dom(β), ω^{β}[x] = ω^{β[x]}. Fall 3.2. ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) < δ ∈ P, δ ≠ ω:

⇒ β = δ = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ) mit 1 ≤ ρ < Ω_{s+1}, Ω_{s+1}·α + ρ ∈ C_{s}(Ω_{s+1}·α + ρ), und es gilt ω^{β} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ)). Fall 3.2.1. ρ = 1:

Dies ist nach Lemmata 5.4 und 5.5 genau dann der Fall,

wenn β = ω^{γ+1} für eine Epsilonzahl γ.

β[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) · (n + 1), ω^{β[n]} = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) · n). dom(ω^{β}) = IN, ω^{β}[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ψ_{s}(Ω_{s+1} · α)·(n + 1)) = ω^{β[n+1]}.

Fall 3.2.2. 1 < ρ = ρ′ + 1:

β[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ′)·(n + 1).

dom(ω^{β}) = IN, ω^{β}[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α+ψ_{s}(Ω_{s+1} · α+ρ′)·(n+1)) = ω^{β[n]}. Fall 3.2.3. ρ ∈ Lim:

Falls dom(ρ) ∈ {IN} ∪ {T_{u} | u < s}, ρ ≠ Ω_{m} für ein m ≤ s, gilt

β[x] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ[x])

= ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ[x]), [da ρ[x] ≠ 0] also dom(ω^{β}) = dom(β), und ω^{β}[x] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ[x])) = ω^{β[x]}.

Falls ρ = Ω_{m} für ein 1 ≤ m ≤ s, (dies ist nach Lemmata 5.4 und 5.5 genau dann der Fall, wenn β = ω^{ϵ+Ω_{m}} für eine Epsilonzahl Ω_{m} < ϵ),

folgt dom(ω^{β}) = dom(β) = T_{m−1},

β[0] = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α),

ω^{β}[0] = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α + ψ_{s}(Ω_{s+1}·α)) = ω^{β[0]·2}, und für x ≠ 0 wie eben ω^{β}[x] = ω^{β[x]}.

Falls dom(ρ) ∈ {T_{u} | u ≥ s}, gilt β[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ[ζ_{n}]) = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α) + ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ[ζ_{n}]), ω^{β}[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + (ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + ρ)[n]))

= ψ_{s}(Ω_{s+1} · α + β[n])
= ω^{β[n]}.

Fall 4 β Epsilonzahl:

Insbesondere folgt β = ω^{β}, β = ψ_{s}(Ω_{s+1} · α). Fall 4.1. α = 0 d.h. β = ψ_{s}(0) > ω, s > 0:

dom(ω^{β}) = dom(β) = T_{s−1}, ω^{β}[x] = x. Ansonsten sei 0 ≠ Ω_{s+1} · α=_{NF} ψ_{m_{1}}α_{1} + ⋯ + ψ_{m_{k}}α_{k} (m_{i} ≥ s + 1). Fall 4.2. α_{k} = 0, m_{k} = s + 1, d.h. α = α′ + 1

(Dies ist der Fall β = ϵ_{ν+1}). β = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + Ω_{s+1}). ω^{β}[n] = β[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ζ_{n}) = ζ_{n+1}, wobei ζ_{0} = ψ_{s}0, ζ_{n+1} = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ζ_{n}), ω^{β}[0] = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ψ_{s}0) = ω^{ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′)+Ω_{s}}, ω^{β}[n + 1] = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ζ_{n+1})

= ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ζ_{n}))

= ω^{ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′+ζ_{n})}

= ω^{(ω^{β}[n])}. Fall 4.3. α_{k} = 0, m_{k} > s + 1,

d.h. β = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ψ_{m_{k}}0): ω^{β}[n] = β[n] = ψ_{s}(Ω_{s+1}·α′ + ζ_{n}), wobei ζ_{0} = ψ_{m_{k}−1}0, ζ_{n+1} = ψ_{m_{k}−1}(Ω_{s+1}·α′ + ζ_{n}), ω^{β}[n] = β[n] = ω^{β[n]} für alle n.

Fall 4.4. α_{k} = γ + 1:

dom(ω^{β}) = IN, ω^{β}[n] = ψ_{s}(ψ_{m_{1}}α_{1} + ⋯ + ψ_{m_{k−1}}α_{k−1} + (ψ_{m_{k}}γ)·(n + 1))

= ω^{β[n]}. Fall 4.5. α_{k} ∈ Lim:

(ψ_{m_{k}}α_{k})[x] = ψ_{m_{k}}(α_{k}[x])

oder = ψ_{m_{k}}(α_{k}[ζ_{x}]),

also in jedem Fall (Ω_{s+1} · α)[x] = Ω_{s+1}·ρ_{x} für ein ρ_{x}.

ω^{β}[n] = β[n] = ψ_{s}((Ω_{s+1} · α)[ζ′_{n}])

= ψ_{s}(Ω_{s+1}·ρ_{ζ′}_{n}) = ω^{β[n]},

oder ω^{β}[x] = β[x] = ψ_{s}((Ω_{s+1} · α)[x])

= ψ_{s}(Ω_{s+1}·ρ_{x}) = ω^{β[x]}.

Definition 7.2 Definion von α[n]_{H} für α < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), n ∈ dom(α): Falls α = 0, γ + 1, ist α[n]_{H} := α[n]. Ansonsten sei α=_{NF} α_{1} + ω^{α_{2}}. Falls α_{2} Nachfolgerzahl, α[n]_{H} := α[n] = α_{1} + ω^{α_{2}[0]}·(n + 1). Falls dom(α_{2}) = IN, α[n]_{H} := α_{1} + ω^{α_{2}[n]}.

Es folgt

∀^{\}α < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1})∃Is ∈ {−1, 0, 1} ∀^{\}n ≠ 0(α[n]_{H} = α[n+s]∧α[n] = α[n−s]_{H}).

Lemma 7.3 Was ist dom(ϕ_{α}β) und (ϕ_{α}β)[n]für α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1})? Sei ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ≤ α < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·(ρ + 1)), Γ := ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ).

β  α  ϕ_{α}β[n] =

β = 0  α = 0  0
α = 1  ϕ_{0}^{n+1}1
1 < α = δ + 1  ϕ_{δ}^{n+1}ω
α = ω  ϕ_{n+2}0
ω^{2} < α = ω^{Γ+1}, ω^{ω^{Γ+1}}  ϕ_{α[0]_{H}}(1), falls n = 0

ϕ_{α[n]_{H}}(0), falls n > 0
1 < α = Γ  α[n]
ω, Γ, ω^{Γ+1}, ω^{ω^{Γ+1}} ≠ α ∈ Lim ϕ_{α[n]_{H}}(0)

β = β̃ + 1  α = 0  (ϕ_{0}β̃)·(n + 1)
α = 1  ϕ_{0}^{n+1}((ϕ_{1}β̃) + 1)
1 < α = δ + 1  ϕ_{δ}^{n+1}((ϕ_{α}β̃) + ω)
α = ω  ϕ_{n+2}((ϕ_{ω}β̃) + 1)
ω ≠ α ∈ Lim  ϕ_{α[n]_{H}}((ϕ_{α}β̃) + 1)

β = ω  α ≠ Γ  ϕ_{α}n
α = Γ  ϕ_{α}(n + 1)

β = ϕ_{α}β  α beliebig  β[n]

β = ω^{ϕ_{α+1}γ+1}  α beliebig  ϕ_{α}(β[n + 1])

für ein γ

ω, ϕ_{α}β ≠ β ∈ Lim α = 0  ϕ_{0}(β[n])

∀γ(β ≠ ω^{ϕ_{α+1}γ+1})

α > 0  ϕ_{α}(β[n]_{H})

Beweis:

Seien ρ, ν, β_{1}, β_{2} wie in Definition 6.3. Fall 1 β_{2} = γ + 1:

Dann gilt β = β̃ + 1 oder (ν ≠ 0 ∧ β = 0). Weiter gilt ϕ_{α}β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1} + Ω_{1}^{α}·γ + Ω_{1}^{α}). Sei (ϕ_{α}β)^{o} :=

\{ \begin{matrix}ϕ_{α}β̃ = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α}·γ), & falls β = β̃ + 1, \\ 0, & falls β = 0. \end{matrix}

Fall 1.1. α = 0:

ϕ_{α}β = ψ_{0}(Ω_{1} · β_{1} + γ + 1). ϕ_{α}β[n] = ψ_{0}(Ω_{1}·β_{1} + γ) · (n + 1) = (ϕ_{α}β̃)·(n + 1).

Fall 1.2. α = 1:

ϕ_{α}β = ψ_{0}(Ω_{1}^{2} · β_{1} + Ω_{1} · γ + Ω_{1}). ζ_{0} = 1, ζ_{n+1} = ψ_{0}(Ω_{1}^{2} · β_{1} + Ω_{1} · γ + ζ_{n}) = ω^{(ϕ_{α}β)^{o}+ζ_{n}}. ϕ_{α}β[0] = ω^{(ϕ_{α}β)^{o}+1}. ϕ_{α}β[n + 1] = ω^{(ϕ_{α}β)^{o}+(ϕ_{α}β)[n]} = ω^{ϕ_{α}β[n]}.

Sei nun 1 < α = 1 + ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{k}} mit α_{1} ≥ ⋯ ≥ α_{k}, δ := 1 + ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{k−1}}. Ω_{1}^{α} = ω^{Ω_{1}·α} = ω^{Ω_{1}+ω^{Ω_{1}+α_{1}}+···+ω^{Ω_{1}+α_{k}}} = ψ_{1}(ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k}). (da α_{i}, ψ_{1}α_{i} < ϵ_{Ω_{1}+1})

Fall 1.3. α_{k} = 0 d.h. 1 < α = δ + 1:

Ω_{1}^{α}[x] = ψ_{1}(ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k−1} + x)

= ω^{Ω_{1}+ω^{Ω_{1}+α_{1}}+···+ω^{Ω_{1}+α_{k−1}}+x}

= Ω_{1}^{δ} · ω^{x}.

ζ_{0} = 1, ζ_{n+1} = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · γ + Ω_{1}^{α}[ζ_{n}])

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · γ + Ω_{1}^{δ} · ω^{ζ_{n}})

= ϕ_{δ}((ϕ_{α}β)^{o} + ω^{ζ_{n}}).

(ϕ_{α}β)[n] = ζ_{n+1}. (ϕ_{α}β)[0] = ϕ_{δ}((ϕ_{α}β)^{o} + ω), (ϕ_{α}β)[n + 1] = ϕ_{δ}((ϕ_{α}β)^{o} + ω^{ϕ_{α}β[n]})

= ϕ_{δ}(ϕ_{α}β[n]). [da ϕ_{α}β[n]Epsilonzahl > (ϕ_{α}β)^{o}] Fall 1.4. α_{k} = μ + 1:

Ω_{1}^{α}[n] = ψ_{1}(ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k−1} + (ψ_{1}μ) · (n + 1)) = ω^{Ω_{1}+ω^{Ω_{1}+α_{1}}+···+ω^{Ω_{1}+α_{k−1}}+ω^{Ω_{1}+μ}·(n+1)}

= Ω_{1}^{δ+ω^{μ}·(n+1)}.

Falls α ≠ ω, folgt δ + ω^{μ}·(n + 1) = α[n]_{H}.

Falls α = ω, folgt δ + ω^{μ}·(n + 1) = n + 2. ϕ_{α}β[n] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · γ + Ω_{1}^{α}[n])

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · γ + Ω_{1}^{δ+ω^{μ}·(n+1)}). Es folgt ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ≤ δ + ω^{μ} ≤ δ + ω^{μ}·(n + 1) < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·(ρ + 1)) (denn ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ist Epsilonzahl oder ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) = 1, und

ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ≤ α < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·(ρ + 1)). Falls δ + ω^{μ} > ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ), folgt,

falls β ≠ 0, (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{δ+ω^{μ}·(n+1)}((ϕ_{α}β)^{o} + 1), falls β = 0, (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{δ+ω^{μ}·(n+1)}(0).

Falls δ + ω^{μ} = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ), folgt δ = 1, μ = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ), ρ > 0, also ω^{2} < α = ω^{Γ+1}. Falls β ≠ 0, folgt (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{δ+ω^{μ}·(n+1)}((ϕ_{α}β)^{o} + 1). Falls β = 0, folgt (ϕ_{α}β)[n] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{δ+ω^{μ}·(n+1)}) = ϕ_{δ+ω^{μ}}(1), falls n = 0, = ϕ_{δ+ω^{μ}·(n+1)}(0), falls n > 0.

Fall 1.5. α_{k} ∈ Lim:

Ω_{1}^{α}[n] = ψ_{1}(ψ_{1}α_{1} + ⋯ + ψ_{1}α_{k−1} + ψ_{1}(α_{k}[n]))

= ω^{Ω_{1}+ω^{Ω_{1}+α_{1}}+···+ω^{Ω_{1}+α_{k−1}}+ω^{Ω_{1}+α_{k}[n]}}

= Ω_{1}^{δ+ω^{α_{k}[n]}}. ϕ_{α}β[n] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1} + Ω_{1}^{α}·γ + Ω_{1}^{δ+ω^{α_{k}[n]}}).

Da α_{k}[n] ≥ 1, folgt δ + ω^{α_{k}[n]} = 1 + ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{k−1}} + ω^{α_{k}[n]} = ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{k−1}} + ω^{α_{k}[n]} = α[n]_{H}, da α = ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{k}}.

Fall 1.5.1. α > ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ).

⇒ α[n]_{H} ≥ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ). Falls β ≠ 0, folgt ϕ_{α}β[n] = ϕ_{α[n]_{H}}((ϕ_{α}β)^{o} + 1). Sei also β = 0. Fall 1.5.1.1. α[n]_{H} = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ).

Wegen ∀m > 0(ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ≤ α[0]_{H} < α[m]_{H}) folgt n = 0.

Weiter folgt aus δ + ω^{α_{k}[0]} = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ)

δ + ω^{α_{k}[0]} = α_{k}[0] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) und k = 1.

Da α_{k} ∈ Lim, folgt α_{k} ∈ P,

und, da ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ) ≤ α_{k} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·(ρ + 1)),

α_{k} = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + λ) mit λ < Ω_{1}^{Ω_{1}}, Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + λ ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + λ). Wäre λ ∈ Lim, so wäre α_{k}[0] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} ·ρ+λ[j]) für ein j ∈ {0, 1},

also 0 < λ[0] ≤ λ[j].

Also ist λ Nachfolgerzahl, und es folgt λ = 1. Also folgt im Fall 1.5.1.1. generell n = 0, α = ω^{ω^{ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} ·ρ)+1}}, ρ ≠ 0, und es folgt ϕ_{α}0[0] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ)}) = ϕ_{α[0]_{H}}(1).

Fall 1.5.1.2. α[n]_{H} > ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ).

Dann gilt (ϕ_{α}0)[n] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α[n]_{H}}) = ϕ_{α[n]_{H}}(0). Fall 1.5.2. α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ).

Dann gilt zunächst β = β̃ + 1. Sei ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{n}) ≤ α[n]_{H} < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·(ρ_{n} + 1)). Dann folgt ρ_{n} < ρ, also

Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{n} + Ω_{1}^{α[n]_{H}+1} ≤ Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1} + Ω_{1}^{α}·γ + Ω_{1}^{α[n]_{H}}, also (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{α[n]_{H}}((ϕ_{α}β)^{o} + 1).

Fall 2 β_{2} ∈ Lim:

Sei (ϕ_{α}β)^{o} := \{ \begin{matrix}ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}), & falls β_{1} ≠ 0, \\ 0, & falls β_{1} = 0. \end{matrix}

Sei β_{2}=_{NF} β_{3} + ω^{β_{4}}. [auch β_{3} = 0 möglich] ϕ_{α}β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{3} + Ω_{1}^{α} · ω^{β_{4}})

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{3} + ω^{Ω_{1}·α+β_{4}}). Fall 2.1. α = 0:

ϕ_{α}β[n] = ψ_{0}(Ω_{1} · β_{1} + β_{3} + ω^{β_{4}}[n])

= ω^{(ϕ_{α}β)^{o}+β_{3}+ω^{β_{4}}[n]}. Fall 2.2. α > 0:

Sei α = 1 + δ. ϕ_{α}β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{3} + ψ_{1}(Ω_{1} · δ + β_{4})). Fall 2.2.1. β_{4} = β_{5} + 1:

(ϕ_{α}β)[n] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{3} + ψ_{1}(Ω_{1} · δ + β_{5}) · (n + 1)) = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{3} + ω^{Ω_{1}+Ω_{1}·δ+β_{5}} · (n + 1)) = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · (β_{3} + ω^{β_{5}}·(n + 1))).

Falls β_{1} ≠ 0, folgt (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{α}((ϕ_{α}β)^{o} + β_{3} + ω^{β_{5}}·(n + 1)). Falls β_{1} = 0 und β_{3} + ω^{β_{5}} ≥ ω, d.h. β > ω, folgt

(ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{α}(β_{3} + ω^{β_{5}}·(n + 1)) = ϕ_{α}((ϕ_{α}β)^{o} + β_{3} + ω^{β_{5}}·(n + 1)).

Falls β_{1} = 0 und β_{3} + ω^{β_{5}} < ω, d.h. β = ω, folgt, falls ν ≠ 0, (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{α}n, falls ν = 0, (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{α}(n + 1).

Fall 2.2.2. β_{4} ∈ Lim:

(ϕ_{α}β)[n] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · β_{3} + ψ_{1}(Ω_{1}·δ + β_{4}[n]))

= ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + Ω_{1}^{α} · (β_{3} + ω^{β_{4}[n]})).

Da β_{4}[n] ≠ 0, folgt β_{3} + ω^{β_{4}[n]} ≥ ω.

Es folgt (ϕ_{α}β)[n] = ϕ_{α}((ϕ_{α}β)^{o} + β_{3} + ω^{β_{4}[n]}). Weiter gilt das Folgende generell im Fall 2: Ist β_{2} ≤ ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1}) oder β_{2} ∉ P oder β_{1} = 0, so ist (ϕ_{α}β)^{o} + β_{3} + ω^{β_{4}}[n] = β[n], sowie (ϕ_{α}β)^{o} + β_{3} + ω^{β_{4}}[n]_{H} = β[n]_{H}. Ansonsten ist β = β_{2} = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + λ) mit λ ≥ 1 und β_{1} ≠ 0. Sei λ = Ω_{1}·λ_{1} + λ_{2} mit λ_{2} < Ω_{1}. Dann gilt β = ω^{ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ+Ω_{1}^{α+1}·β_{1}+Ω_{1}·λ_{1})+λ_{2}}, also β_{3} = 0 und β_{4} = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1} + Ω_{1}·λ_{1}) + λ_{2}.

Ist λ > 1 so gilt:

β[n] = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + λ[n])

oder = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + λ[0])·(n + 1)
oder = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1} · β_{1} + λ[ζ_{n}]),

in jedem Fall also

β[n] = (ϕ_{α}β)^{o} + β[n] = (ϕ_{α}β)^{o} + β_{3} + ω^{β_{4}}[n]. Weiter gilt β[n]_{H} = ω^{β_{4}}[n]_{H} = ω^{β_{4}[0]}·(n + 1)

= (ϕ_{α}β)^{o} + ω^{β_{4}[0]}·(n + 1) = (ϕ_{α}β)^{o} + (β_{3} + ω^{β_{4}})[n]_{H}, bzw. = ω^{β_{4}[n]} = (ϕ_{α}β)^{o} + (β_{3} + ω^{β_{4}})[n]_{H}.

Ist λ = 1 so ist β[n] = (ϕ_{α}β)^{o}·(n + 1),

also (ϕ_{α}β)^{o} + β_{3} + ω^{β_{4}}[n] = β[n + 1].

Weiter gilt (ϕ_{α}β)^{o} + (β_{3} + ω^{β_{4}})[n]_{H} = (ϕ_{α}β)^{o} + ω^{ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ+Ω_{1}^{α+1}·β_{1})}·(n + 1) = (ϕ_{α}β)^{o}·(n + 2) = β[n + 1].

Es gilt β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1} + λ) mit λ = 1 genau dann, wenn β = ω^{ϕ_{α+1}γ+1} für ein γ. (Nämlich mit ϕ_{α+1}γ = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1}). Beachte, daß nach Lemma 2.17 Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}} · ρ + Ω_{1}^{α+1}·β_{1}).

Fall 3 β_{2} = 0:

Dann ist β = 0, ν = 0, α ≠ 0 und ϕ_{α}β = α, (ϕ_{α}β)[n] = α[n], oder ϕ_{α}β = β, (ϕ_{α}β)[n] = β[n], oder α = β = 0 und (ϕ_{α}β)[n] = 0.

Die Relation <_{k} und die Funktionen F_{β}

In diesem Kapitel wird die Funktionen F_{α} der schnellwachsenden Hierarchie und die Relationen <_{k} und ˜<_{k} eingeführt. Hierbei wird zunächst ein allgemeiner Ordinalzahlabschnitt Ord mit Fundamentalfolgenzuordnung, der die Bachmann-Bedingung erfüllt, betrachtet. Damit sind wir zunächst unabhängig von den in Kapitel 4 eingeführten Fundamentalfolgen, die wesentlich auf dem speziellen Ordinalzahlbezeichnungssystem, das in der Literatur oft variiert wird, beruhen und auch unabhängig von den Schwierigkeiten, die in Kapitel 7 auftreten.

Vorbemerkung 8.1 Gegeben sei ein Ordinalzahlenabschnitt Ord ⊂ Ω_{1} mit Fundamentalfolgenzuordung, d.h. es existiere eine Funktion ·[·] : Ord × IN → Ord mit (γ + 1) ∈ Ord → (γ + 1)[n] = γ und γ ∈ Lim ∩ Ord → (∀n ∈ IN(γ[n] < γ[n + 1] < γ) ∧ γ = sup{γ[n] | n ∈ IN}). Es gelte die sog. Bachmann-Bedingung:

Bedingung (BB): α, γ ∈ Lim ∧ γ[n] < α ≤ γ[n + 1] ⇒ γ[n] ≤ α[0]

Im folgenden seien immer α, α̃, β, γ, γ_{i}, δ, δ_{i} ∈ Ord und k, l, m, n, m_{i} ∈ IN.

8. Die Relation <_{k} und die Funktionen F_{β} 48

Definition 8.2 β <_{k}^{1} α :⇔ α ≠ 0 ∧ ∃Ii ≤ k(β = α[i]). <_{k} sei die transitive Hülle von <_{k}^{1}. α ≤_{k} β : ⇔(α = β) ∨ (α <_{k} β); β >_{k} α : ⇔α <_{k} β; β ≥_{k} α : ⇔α ≤_{k} β.

Lemma 8.3

(a) β <_{k} α ∧ k ≤ m ⇒ β <_{m} α.

(b) γ ∈ Lim ∧ γ[n] < α ≤ γ[n + 1] ⇒ γ[n] <_{0} α und γ[n] + 1 ≤_{1} α.

(c) β <_{k} α ⇒ β + 1 ≤_{k+1} α.

Beweis:

(a) trivial. (b): Wir beweisen beide Behauptungen durch transfinite Induktion nach α: Falls α = γ[n] + 1, ist die Behauptung trivial, ansonsten folgt γ[n] ≤ α[0] < α[1] < α, falls α ∈ Lim und γ[n] < α[0], falls α Nachfolgerzahl, also mit der Induktionsvoraussetzung γ[n] ≤_{0} α[0] <_{0} α und γ[n] + 1 ≤_{1} α[1] <_{1} α. (c): Sei β <_{k}^{1} α_{1} ≤_{k} α und β = α_{1}[i] mit i ≤ k. Ist α_{1} Nachfolgerzahl, folgt β + 1 = α_{1} ≤_{k} α; ansonsten folgt nach (b) β + 1 ≤_{1} α_{1}[i + 1] <_{k+1} α_{1} ≤_{k} α.

Definition 8.4 Definition von F_{α}: IN → IN durch transfinite Rekursion nach α ∈ Ord: F_{0}(n) := n + 1. F_{α+1}(n) := F_{α}^{n+1}(n). F_{α}(n) := F_{α[n]}(n), falls α ∈ Lim.

Lemma 8.5

(a) n < F_{α}(n) < F_{α}(n + 1).

(b) β <_{k} α ⇒ F_{β}(k) ≤ F_{α}(k) ∧ F_{β}(k + 1) < F_{β}^{2}(k + 1) ≤ F_{α}(k + 1).

(c) F_{α}(0) = 1.

(d) F_{1}(n) = 2·n + 1.

Beweis: (a), (b): Wir zeigen (a) und (b) simultan durch transfinite Induktion nach α, wobei es in (b) jeweils genügt, den Fall β <_{k}^{1} α zu betrachten, da der allgemeine Fall dann immer mit der Induktionsvoraussetzung folgt. Im Fall α = 0 ist (a) klar, in (b) ist nichts zu zeigen.

Gilt α = α̃ + 1, d.h. β = α̃, so folgt (a) aus n<^{IV}F_{β}(n)≤^{IV}F_{β}^{n+1}(n) = F_{β+1}(n) =

F_{β}^{n+1}(n)<^{IV} F_{β}^{n+1}(n + 1)<^{IV}F_{β}^{n+2}(n + 1) = F_{α}(n + 1),

und (b) aus F_{β}(k){IV für (a) \atop ≤}F_{β}^{k+1}(k) = F_{α}(k) und F_{β}(k + 1){IV für (a) \atop <}

F_{β}F_{β}(k + 1) = F_{β}^{2}(k + 1){IV für (a) \atop ≤}F_{β}^{k+2}(k + 1) = F_{α}(k + 1).

Sei nun α ∈ Lim.

Zu (a): n<^{IV}F_{α[n]}(n) = F_{α}(n).

Weiter α[n] <_{0} α[n + 1] ⇒ F_{α}(n) = F_{α[n]}(n){IV für (b) \atop ≤}F_{α[n+1]}(n){IV für (a) \atop <} F_{α[n+1]}(n + 1) = F_{α}(n + 1). Zu (b): Sei β = α[i] mit i ≤ k. Nach Lemma 8.3 (b) folgt α[i] ≤_{0} α[k], also

F_{β}(k) = F_{α[i]}(k){IV für (b) \atop ≤}F_{α[k]}(k) = F_{α}(k) und F_{β}(k + 1){IV für (a) \atop <}

F_{β}^{2}(k + 1) {IV für (a) \atop ≤} F_{β}^{k+2}(k + 1) = F_{β+1}(k + 1) ≤ F_{α}(k + 1) [letzteres folgt aus β + 1 ≤_{k+1} α und dem ersten Teil von (b)].

(c) folgt sofort durch transfinite Induktion nach α. (d): F_{1}(n) = F_{0}^{n+1}(n) = n + n + 1 = 2·n + 1.

Definition 8.6

(1) 0 ≠ α ∈ Ord ⇒ α^{−} := α[0].

(2) Definition von n(α) für α < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) durch transfinite Rekursion

nach α: (i) n(0) := 0. (ii)n(α) := n(α^{−}) + 1 für α > 0.

Lemma 8.7

(a) β <_{0} α ⇒ n(β) < n(α).

(b) α ∈ Lim ⇒ n(α[k]) ≥ k.

(c) β < α ⇒ β <_{n(β)} α.

(d) ∀m ∈ IN(F_{n(α)}(m) ≤ F_{α}(m)).

(e) m ≥ 1 ⇒ F_{n}(m) ≥ 2·n + m + 1.

(f) n ∈ IN, α ≠ 0 ⇒ F_{α}(n) ≥ 2·n + 1.

(g) n ≥ 2, α > 1 ⇒ F_{α}(n) > 2·n + 1.

Beweis:

(a) ist trivial.

(b) folgt aus 0 ≤_{0} α[0] <_{0} α[1] <_{0} ⋯ <_{0} α[k] und (a).

(c) Zeige β < α ⇒ β ≤ α[n(β)]. (Daraus folgt dann die Behauptung sofort durch transfinite Induktion nach α). Falls α Nachfolgerzahl, ist die Hilfsbehauptung klar.

Falls α ∈ Lim β ≤ α[0], ist die Hilfsbehauptung trivial. Falls α ∈ Lim β > α[0], folgt

∃n(α[n] ≤ β < α[n + 1]).

Nach (b) gilt n(α[n]) ≥ n.

Falls β = α[n], folgt β = α[n] = α[n(β)].

Falls β > α[n], folgt aus Lemma 8.3 (b)

α[n] <_{0} β also n(β) ≥ n(α[n]) + 1 ≥ n + 1. Es gilt dann β < α[n + 1] ≤ α[n(β)].

(d) Die Behauptung für m = 0 folgt aus Lemma 8.5(c). Beweis der Behauptung für m > 0 durch transfinite Induktion nach α: Falls α = 0, ist die Behauptung klar. Falls α = γ + 1, folgt

F_{γ+1}(m) = F_{γ}^{m+1}(m)≥^{IV}F_{n(γ)}^{m+1}(m) = F_{n(γ)+1}(m) = F_{n(γ+1)}(m) = F_{n(α)}(m).

Falls α ∈ Lim, folgt

F_{α}(m) = F_{α[m]}(m)

≥ F_{α[1]}(m) [α[m] ≥_{0} α[1]] ≥ F_{α[0]+1}(m) [α[1] ≥_{1} α[0] + 1] = F_{α[0]}^{m+1}(m)

≥^{IV}F_{n(α[0])}^{m+1}(m)

= F_{n(α[0])+1}(m) = F_{n(α)}(m).

(e) Beweis durch Induktion nach n: Falls n = 0 gilt, ist die Behauptung klar, und F_{n+1}(m) = F_{n}^{m+1}(m) ≥

F_{n}^{2}(m) ≥ F_{1}F_{n}(m)≥^{IV} 2·(2·n + m + 1) + 1 ≥ 2·n + m + 3.

(f) Falls n = 0 folgt die Behauptung aus Lemma 8.5(c), ansonsten gilt α ≠

0\underrightarrow{(c)}0 <_{0} α \underrightarrow{8.3(c)} 1 ≤_{1} α ⇒ F_{α}(n){8.5 (b) \atop ≥}F_{1}(n){8.5 (d) \atop =}2·n + 1.

(g) n ≥ 2, 1 <_{n−1} α ⇒ 2·n + 1{8.5(d) \atop =}F_{1}(n){8.5(b) \atop <}F_{α}(n).

Bemerkung 8.8 Sei β <_{k}^{1,∗} α : ⇔(α ≠ 0 ∧ β = α[k]). Sei <_{k}^{∗} die transitive Hülle von <_{k}^{1,∗}, d.h. α <_{k}^{∗} β⇔α \underbrace{[k] ⋯ [k]}_{n mal} = β für ein n ∈ IN.

Dann gilt α <_{k} β⇔α <_{k}^{∗} β.

Beweis: Die Richtung ⇐ ist klar. Wir beweisen die umgekehrte Richtung durch transfinite Induktion nach β. Falls α = β[k], ist die Behauptung klar. Falls α = β[i] für ein i < k und β ∈ Lim, folgt aus β[i] <_{0} β[i + 1] <_{0} ⋯ <_{0} β[k] dann α = β[i] <_{k} β[k], also nach Induktionsvoraussetzung β[i] <_{k}^{∗} β[k] <_{k}^{1,∗} β. Falls α <_{k} γ <_{k}^{1} β, folgt aus der Induktionsvoraussetzung und dem eben bewiesenen α <_{k}^{∗} γ <_{k}^{∗} β.

Folgerung 8.9 α <_{k} β, γ <_{k} β, α < γ ⇒ α <_{k} γ.

Beweis: Nach Lemma 8.8 existieren n, m mit α = β \underbrace{[k] ⋯ [k]}_{n mal} und

γ = β \underbrace{[k] ⋯ [k]}_{m mal}.

Da α < γ, folgt n > m, also α = γ \underbrace{[k] ⋯ [k]}_{n − m mal}.

Definition 8.10 Sei l ≥ 1. α ˜<_{l}^{1}β : ⇔∃k < F_{β}(l)(α <_{k} β) ⇔ α <_{F_{β}(l)−1} β. α ˜<_{l}β : ⇔∃k ≥ 1∃γ_{1}, …, γ_{k}∃m_{1}, …, m_{k}

(α <_{m_{1}} γ_{1} <_{m_{2}} γ_{2} <_{m_{3}} ⋯ <_{m_{k}} γ_{k} = β

mit ∀i < k(m_{i} < F_{γ_{i}}(m_{i+1})) und m_{k} < F_{γ_{k}}(l)).

α ˜≤_{l}β : ⇔α = β ∨ α ˜<_{l}β. α ˜>_{l}β⇔β ˜<_{l}α; α ˜≥_{l}β⇔β ˜≤_{l}α.

Folgerung 8.11

(a) α ˜<_{l}^{1}β ⇒ α ˜<_{l}β.

(b) α ˜<_{l}β ˜<_{l}γ ⇒ α ˜<_{l}γ.

Beweis:

(a) ist trivial.

(b) Sei β <_{m_{1}} γ_{1} <_{m_{2}} γ_{2} <_{m_{3}} ⋯ <_{m_{k}} γ_{k} = γ mit m_{i} < F_{γ_{i}}(m_{i+1}) und m_{k} < F_{γ_{k}}(l). Sei α <_{n_{1}} δ_{1} <_{n_{2}} δ_{2} <_{n_{3}} ⋯ <_{n_{r}} δ_{r} = β mit n_{i} < F_{δ_{i}}(n_{i+1}) und n_{r} < F_{β}(l). Sei m̃_{k} := F_{γ}(l) − 1, m̃_{k−1} := F_{γ_{k−1}}(m̃_{k}) − 1 , ⋯, m̃_{1} := F_{γ_{1}}(m̃_{2}) − 1.

Dann folgt m_{i} ≤ m̃_{i}, l ≤ m̃_{i} sowie β <_{m_{1}} γ_{1} <_{m_{2}} γ_{2} <_{m_{3}} ⋯ <_{m_{k}} γ. Da

n_{r} < F_{β}(l) ≤ F_{β}(m̃_{1}), folgt α <_{n_{1}} δ_{1} <_{n_{2}} ⋯ <_{n_{r}} δ_{r} = β <_{m_{1}} γ_{1} <_{m_{2}} ⋯ <_{m_{k}}

γ_{k} = γ mit n_{i} < F_{δ_{i}}(n_{i+1}), n_{r} < F_{β}(m̃_{1}), m̃_{i} < F_{γ_{i}}(m̃_{i+1}), m̃_{k} < F_{γ_{k}}(l).

Definition 8.12 Sei f : γ → Ord mit γ ⊂ Ord. f heißt gut wachsend, falls für alle α, β ∈ γ, n ∈ IN gilt:

(1) α ˜<_{n}^{1}β ⇒ f(α) ˜<_{n}f(β) (falls n ≥ 1).

(2) α + 1 < γ ⇒ f(α) + 1 ˜≤_{1}f(α + 1).

(3) F_{α}(n) ≤ F_{f(α)}(n).

(4) n(α) ≤ n(f(α)).

Bemerkung 8.13 Sei f : γ → Ord mit γ ⊂ Ord, so daß gilt:

∀^{\}k ∀^{\}α, β ∈ γ(α <_{k} β ⇒ f(α) <_{k} f(β)).

Dann ist f gut wachsend. Es gilt dann sogar n(f(α)) ≥ n(f(0)) + n(α).

Beweis: Wir zeigen zunächst (3) von 8.12 und n(f(α)) ≥ n(f(0)) + n(α) (und damit (4)) durch transfinite Induktion nach α: Falls α = 0 gilt, folgt wegen 0 ≤_{0} f(α), F_{0}(n) ≤ F_{f(α)}(n), und, da n(α) = 0, n(f(α)) = n(f(0)) + n(α). Falls α = α̃ + 1, folgt F_{α}(0) = 1 = F_{f(α)}(0). Weiter gilt, falls n ≥ 1, wegen α̃ <_{0} α, f(α̃) <_{0} f(α), also f(α̃) + 1 ≤_{1} f(α). Daraus folgt dann

F_{α}(n) = F n+1 ; _{α}(n)≤^{IV}F_{f(_{α})}^{n+1}(n) = F_{f(_{α})+1}(n) ≤ F_{f(α)}(n).

Daneben folgt n(α̃) + n(f(0))≤^{IV}n(f(α̃)) <^{f(_{α})<_{0}f(_{α}+1)} n(f(α̃ + 1)) = n(f(α)), also n(f(α)) ≥ n(α) + n(f(0)).

Falls α ∈ Lim gilt, folgt F_{α}(n) = F_{α[n]}(n)≤^{IV}F_{f(α[n])}(n) ≤ F_{f(α)}(n), denn

aus α[n] <_{n} α folgt f(α[n]) <_{n} f(α). Weiter gilt wegen α[0] <_{0} α dann

f(α[0]) <_{0} f(α) also n(α)+n(f(0)) = n(α[0])+n(f(0))+1≤^{IV}n(f(α[0]))+1 ≤

n(f(α)).

Zu (1): Gilt α ˜<_{n}^{1}β, also α <_{F_{β}(n)−1} β, so folgt f(α) <_{F_{β}(n)−1} f(β), wegen (3) also f(α) <_{F_{f(β)}(n)−1} f(β), d.h. f(α) ˜<_{n}f(β). Zu (2): Aus α <_{0} α + 1 folgt f(α) <_{0} f(α + 1), also f(α) + 1 ≤_{1} f(α + 1) mit 1 < F_{f(α+1)}(1).

<_{k} und F_{k} mit spezieller Fundamentalfolgenzuordnung

In diesem Kapitel verfolgen wir die Relation <_{k} und die Funktionen F_{k} aus Kapitel 8 weiter, falls die Fundamentalfolgen neben der Bachmann-Bedingung zusätzlich die Bedingung (+) der Verträglichkeit mit der Summe erfüllen:

Bedingung (+): α + β=_{NF} α + β ∈ Ord, β ≠ 0 ⇒ (α + β)[n] = α + (β[n]).

Weiter wird in der zweiten Hälfte des Kapitels (ab Lemma 9.3) zusätzlich die Bedingung (P) gefordert:

Bedingung (P) ρ ∈ P ⇒ ( ∀^{\}l(ρ[l] ∈ P ∪{0})∨∃Iρ′ ∈ P ∀^{\}l(ρ[l] = ρ′·(l +1))).

Lemma 9.1

(a) F_{β}(n) ≤ F_{α+β}(n).

(b) α + β=_{NF} α + β ⇒ n(α + β) = n(α) + n(β).

(c) n(β) ≤ n(α + β) (ohne Voraussetzung von (b)).

Beweis: (a)Es genügt den Fall α ∈ P zu betrachten. Beweis dann durch transfinite Induktion nach β: Falls β = 0 oder α + β = β, ist die Behauptungtrivial. Falls β = γ + 1, folgt

F_{α+β}(n) = F_{α+γ}^{n+1}(n)≥^{IV}F_{γ}^{n+1}(n) = F_{β}(n).

9. <_{k} und F_{k} mit spezieller Fundamentalfolgenzuordnung 55

Falls β ∈ Lim, α + β=_{NF} α + β, folgt

F_{α+β}(n) = F_{(α+β)[n]}(n) = F_{α+(β[n])}(n)≥^{IV}F_{β[n]}(n) = F_{β}(n).

(b) ist klar.

(c) folgt aus (b), da α + β=_{NF} α_{1} + β für ein α_{1}.

Lemma 9.2 α, β ≠ 0, n ≥ 1 ⇒ F_{α#β}(n) ≥ F_{α}(n) + 2.

Beweis: O.E. sei β additive Hauptzahl. Sei α = γ + δ mit (min(P (γ)) ≥ β oder P (γ) = ∅) und δ < β. Zu zeigen ist F_{γ+β+δ}(n) ≥ F_{γ+δ}(n) + 2. Zeige dies durch transfinite Induktion nach δ < β. Falls δ = 0 folgt γ ≠ 0, also γ + 1 ≤_{1} γ + β ⇒ F_{γ+β}(n) ≥ F_{γ+1}(n) = F_{γ}^{n+1}(n) = F_{γ}(F_{γ}^{n}(n)) ≥ F_{1}(F_{γ}(n)) = 2·F_{γ}(n) + 1 ≥ F_{γ}(n) + 2.

Falls δ = δ′ + 1, gilt F_{γ+β+δ′+1} = F_{γ+β+δ′}^{n+1}(n)≥^{IV}F_{γ+δ′}^{n+1}(n) + 2 = F_{γ+δ}(n) + 2.

Falls δ ∈ Lim, gilt F_{γ+β+δ}(n) = F_{γ+β+(δ[n])}(n)≥^{IV}F_{γ+(δ[n])}(n)+2 = F_{γ+δ}(n)+2.

Im Folgenden soll die Fundamentalfolgenzuordnung zusätzlich die Bedingung (P) erfüllen.

Lemma 9.3 α ˜<_{n}^{1}β ⇒ α#γ ˜<_{n}^{1}β#γ.

Beweis: Der Fall γ = 0 ist trivial. Falls γ = 1, folgt aus α <_{F_{β}(n)−1} β, α + 1 ≤_{F_{β}(n)} β <_{0} β + 1 mit F_{β}(n) < F_{β+1}(n) für n ≥ 1. Es genügt, die Behauptung für additive Hauptzahlen γ > 1 zu zeigen. Sei α <_{l} β mit l < F_{β}(n). Sei α = α_{1} + α_{2} mit (α_{1} = 0 oder min(P (α_{1}) ≥ γ) und α_{2} < γ. Sei β = β_{1} + β_{2} mit (β_{1} = 0 oder min(P (β_{1}) ≥ γ) und β_{2} < γ. Wegen α < β folgt α_{1} < β_{1} ∨ (α_{1} = β_{1} ∧ α_{2} < β_{2}). Fall 1: α_{1} = β_{1}. Dann folgt aus α <_{l} β dann α_{2} <_{l} β_{2}, also α#γ = α_{1} + γ + α_{2} <_{l} β_{1} + γ + β_{2} = β#γ mit l < F_{β}(n) ≤ F_{β#γ}(n). Fall 2: α_{1} < β_{1}. Dann folgt zunächst α_{1} + γ ≤ β_{1} und α_{1} + γ·2 ≤ β_{1} + γ. Behauptung: ∃l′ ≤ max{l+2, n(γ)·2} (α_{1}+γ·2 ≤_{l′} β_{1}+γ∨(α_{2} = 0∧α_{1}+γ ≤_{l′} β_{1} + γ)).

Beweis: Fall 2.1: α_{1} + γ·2 = β_{1} + γ: trivial. Fall 2.2: α_{1} + γ·2 = β_{1}: Dann gilt α_{1} + γ·2 <_{0} β_{1} + γ. Fall 2.3: Ansonsten gilt α_{1} + γ·2 < β_{1}. Sei ρ minimal mit α_{1} + γ·2 ≤ ρ ≤_{l} β_{1}. Wegen ρ ≤_{l} β_{1} ≤_{0} β, α <_{l} β und α < α + γ·2 ≤ ρ folgt nach Folgerung 8.9 α <_{l} ρ, also α ≤ ρ[l] < α_{1} + γ·2 ≤ ρ. Sei ρ=_{NF} ρ_{1} + ρ_{2} mit ρ_{2} ∈ P. Dann gilt ρ[l] = ρ_{1} + ρ_{2}[l], wobei ρ_{2}[l] ∈ P oder ρ_{2}[l] = (l + 1)·ρ′ für ein ρ′ ∈ P oder ρ_{2}[l] = 0. Wir haben nun α_{1} ≤ ρ_{1} + ρ_{2}[l] = ρ[l] < α_{1} + γ·2 ≤ ρ_{1} + ρ_{2}. (∗) Sei α_{1} = α_{3} + γ·m mit α_{3} = 0 ∨ min(P (α_{3})) > γ. Fall 2.3.1: α_{3} < ρ_{1} + ρ_{2}[l]: Da α_{3} < ρ_{1} + ρ_{2}[l] < α_{1} + γ·2 = α_{3} + γ·(m + 2), folgt ρ_{2}[l] = γ·(l + 1) oder ρ_{2}[l] ≤ γ. Fall 2.3.1.1: ρ_{2}[l] = γ·(l + 1) mit l > 0: Dann gilt wegen α_{1} ≤ ρ_{1} + ρ_{2}[l] < α_{1} + γ·2 für ein s ∈ {1, 2} ρ_{1} + ρ_{2}[l + s] = α_{1} + γ·2 <_{l+s} ρ_{1} + ρ_{2} = ρ ≤_{l} β_{1} <_{0} β_{1} + γ. Fall 2.3.1.2: ρ_{2}[l] ≤ γ: Dann folgt ρ_{1} = α_{1} ∨ ρ_{1} = α_{1} + γ oder ρ_{1} + γ=_{NF} ρ_{1} + γ = α_{1}. (Denn aus (∗) folgt α_{1} ≤ ρ_{1} +γ < α_{1} +γ·3 und es kann wegen ρ=_{NF} ρ_{1} +ρ_{2} ≥ α_{1} + γ·2 > ρ_{1} + ρ_{2}[l] ≥ α_{1} nicht ρ_{1} ≠ 0 ∧ min P (ρ_{1}) < γ gelten). Fall 2.3.1.2.1: ρ_{1} = α_{1}: Da α_{1} + γ·2 ≤ ρ_{1} + ρ_{2}, folgt γ·2 ≤ ρ_{2}, also nach Lemma 8.7(c) γ·2 ≤_{n(γ·2)} ρ_{2}. Da weiterhin n(γ·2) = n(γ)·2 gilt, folgt α_{1}+γ·2 ≤_{n(γ)·2} ρ_{1}+ρ_{2} ≤_{l} β_{1} <_{0} β_{1}+γ. Fall 2.3.1.2.2: ρ_{1} = α_{1} + γ: Da α_{1} + γ·2 ≤ ρ_{1} + ρ_{2}, folgt γ ≤ ρ_{2}, also γ ≤_{n(γ)} ρ_{2} und somit α_{1} + γ·2 ≤_{n(γ)} ρ_{1} + ρ_{2} <_{l} β_{1} + γ. Fall 2.3.1.2.3: ρ_{1} + γ=_{NF} ρ_{1} + γ = α_{1}:

Dann folgt α_{1} ≤^{(∗)} ρ_{1} + ρ_{2}[l] ≤ ρ_{1} + γ = α_{1}, also ρ_{2}[l] = γ und α_{1} = ρ_{1} + ρ_{2}[l], und, wegen α_{1} + α_{2} = α ≤ ρ_{1} + ρ_{2}[l] = α_{1}, α_{2} = 0. Falls ∀^{\}k(ρ_{2}[k] = γ·(m + 1)) folgt α_{1} + γ = ρ[l + 1] <_{l+1} ρ <_{l} β_{1} + γ. Ansonsten folgt ρ_{2}[l + 1] ∈ P, also α_{1} = ρ_{1} + ρ_{2}[l] = ρ_{1} + γ < ρ_{1} + γ + γ < ρ_{1}+ρ_{2}[l+1] <_{l+1} ρ, also α_{1}+γ = ρ_{1}+γ+γ <_{n(γ)·2} ρ_{1}+ρ_{2}[l+1] <_{l+1} ρ <_{l} β_{1}+γ. Fall 2.3.2: α_{3} = ρ_{1} + ρ_{2}[l]: Da α ≤ ρ[l] = α_{3} ≤ α, folgt α = α_{1} = α_{3} und α_{2} = 0. Es folgt ∀^{\}k(ρ_{2}[k] ∈ P ∪ {0}) oder ∃Iρ̃ ∈ P ∀^{\}k(ρ_{2}[k] = ρ̃·(k + 1)), weiter P (ρ_{2}[l]) > γ oder ρ_{2}[l] = 0. Gilt ∀^{\}k(ρ_{2}[k] = ρ̃·(k + 1)) mit ρ̃ ∈ P, so folgt ρ̃ > γ, und aus γ <_{n(γ)} ρ̃ dann α_{1} + γ <_{n(γ)} α + ρ̃ = ρ[l + 1] <_{l+1} ρ ≤_{l} β_{1} <_{0} β_{1} + γ.

Gilt ∀^{\}k(ρ_{2}[k] ∈ P ∪ {0}) so folgt ρ_{2}[l] + γ <_{max{n(γ),l+1}}^{(∗∗)} ρ_{2}, also α_{1} + γ =

ρ_{1} + ρ_{2}[l] + γ <_{max{n(γ),l+1}} ρ_{1} + ρ_{2} = ρ ≤_{l} β_{1} <_{0} β_{1} + γ. [Beweis von (∗∗): Falls ρ_{2}[l] = 0 folgt dies aus γ <_{n(γ)} ρ_{2}. Sei also ρ_{2}[l] ≠ 0. Dann folgt ρ_{2}[l] > γ. Sei m := max{n(γ), l+1}, weiter δ minimal mit ρ_{2}[l]+γ ≤ δ ≤_{m} ρ_{2} Angenommen, δ > ρ_{2}[l] + γ. Da ρ_{2}[l] + 1 <_{1} ρ_{2}[l + 1] <_{l+1} ρ_{2} und ρ_{2}[l] + 1 < ρ_{2}[l] + γ ≤ δ, folgt ρ_{2}[l] + 1 <_{m} δ, also ρ_{2}[l] + 1 ≤ δ[m] < ρ_{2}[l] + γ. Aus ρ_{2}[l] + 1 ≤ δ[m] < ρ_{2}[l] + γ folgt δ[m] = ρ_{2}[l] + ξ für ein 1 ≤ ξ < ρ_{2}[l], also wegen Bedingung (P) δ ∉ P. Sei deshalb δ=_{NF} δ_{1} + δ_{2} mit δ_{1} ∈ P und δ_{2} ≠ 0. Wäre δ_{1} > ρ_{2}[l], so wäre ρ_{2}[l] + γ ≤ δ_{1} <_{l} ρ_{2} im Widerspruch zur Minimalität von δ. Also gilt δ_{1} = ρ_{2}[l], d.h. δ = ρ_{2}[l] + δ_{2} mit δ_{2} > γ, woraus aber dann ρ_{2}[l] + γ <_{n(γ)} ρ_{2}[l] + δ_{2} im Widerspruch zur Minimalität von δ folgt.]

Im Fall 2 folgt also immer α_{1} +γ·2 ≤_{l′} β_{1} +γ oder (α_{2} = 0∧α_{1} +γ ≤_{l′} β_{1} +γ)

mit l′ ≤ max\{l + 2, n(γ)·2\}. Nun gilt l + 2 < F_{β}(n) + 2{9.2 \atop ≤}F_{β#γ}(n), und

n(γ)·2{8.7(e) \atop <}F_{n(γ)}(n){8.7(d) \atop ≤}F_{γ}(n){9.2 \atop ≤}F_{β#γ}(n), also l′ < F_{β#γ}(n).

Gilt α_{1} + γ·2 ≤_{l′} β_{1} + γ, so folgt aus α_{1} + α_{2} <_{l} β_{1} + β_{2} und α_{1} + α_{2} < β_{1} ≤_{0} β_{1} + β_{2} zunächst α_{1} + α_{2} <_{l} β_{1} <_{0} β_{1} + γ + β_{2}. Da α_{1} + α_{2} < α_{1} + γ·2 <_{l′} β_{1} + γ + β_{2}, und l ≤ l′, folgt nun α_{1} + α_{2} <_{l′} α_{1} + γ·2 und somit α_{2} <_{l′} γ·2. Wegen α_{2} < γ <_{0} γ·2 folgt α_{2} <_{l′} γ. Dann folgt α#γ = α_{1} + γ + α_{2} <_{l′} α_{1} + γ·2 <_{l′} β_{1} + γ + β_{2} = β#γ mit l′ < F_{β#γ}(n). Im anderen Fall folgt die Behauptung direkt aus α#γ = α_{1} + γ ≤_{l′} β_{1} + γ ≤_{0} β_{1} + γ + β_{2} = β#γ und α#γ ≠ β#γ.

Folgerung 9.4 α ˜<_{l}β ⇒ α#γ ˜<_{l}β#γ.

Beweis:

Gelte α <_{m_{1}} γ_{1} <_{m_{2}} ⋯ <_{m_{k}} γ_{k} = β mit ∀^{\}i < k(m_{i} < F_{γ_{i}}(m_{i+1})) und

m_{k} < F_{β}(l). O.E. sei m_{i} = F_{γ_{i}}(m_{i+1})−1 und m_{k} = F_{β}(l)−1. Dann folgt aus

Lemma 9.3 α#γ <_{m_{1}} γ_{1}#γ <_{m_{2}} ⋯ <_{m_{k}} γ_{k}#γ = β#γ mit m̃_{k} := F_{β#γ}(l)−1

und m̃_{i} := F_{γ_{i}#γ}(m_{i+1}) − 1 < F_{γ_{i}#γ}(m̃_{i+1}), also die Behauptung.

Folgerung 9.5 Sei α_{i} ˜<_{l}β_{i} für i = 1 … m. Dann gilt α_{1}# ⋯ #α_{m} ˜<_{l}β_{1}# ⋯ #β_{m}.

Beweis: α_{1}# ⋯ #α_{m} ˜<_{l}β_{1}#α_{2}#α_{3}# ⋯ #α_{m} ˜<_{l}β_{1}#β_{2}#α_{3}#α_{4}# ⋯ #α_{m} ˜<_{l} ⋯ ˜<_{l}β_{1}#β_{2}# ⋯ #β_{m}. Wegen Folgerung 8.11(b) folgt die Behauptung.

Folgerung 9.6 Sei γ ∈ Ord mit γ#β ∈ Ord und f : γ → Ord, f(α) := α#β. Dann ist f gut wachsend. (Vgl. Definition 8.12.)

Beweis: Betrachte (1) - (4) von Definition 8.12:

(1) folgt aus Lemma 9.3.

(2) ist trivial, da f(α) + 1 = f(α + 1).

(3) folgt aus Lemma 9.2.

(4) folgt aus Lemma 9.1(b).

Definition 9.7

(1) Definition von α ·^{#}n für α ∈ Ord, n ∈ IN:

α ·^{#}0 := α, α ·^{#}(n + 1) := (α ·^{#}n)#α.

(2) Für n, m ∈ IN ist n ∪ m := max{n, m}.

Definition 9.8 α ∪ ∪ β := max{α, β} + (max{n(α), n(β)} − n(max{α, β})).

Lemma 9.9

(a) max{α, β} ≤ α ∪ ∪ β ≤ max{α, β} + max{n(β) − n(α), n(α) − n(β)} < max{α, β} + ω.

(b) α ∪ ∪ β = β ∪ ∪ α.

(c) n(α ∪ ∪ β) = max{n(α), n(β)}.

(d) α ˜≤_{1}α ∪ ∪ β, β ˜≤_{1}α ∪ ∪ β.

(e) α ∪ ∪ (β ∪ ∪ γ) = (α ∪ ∪ β) ∪ ∪ γ.

(f) max{α, β} ≤ max{γ, δ}, max{n(α), n(β)} ≤ max{n(γ), n(δ)} ⇒ α ∪ ∪ β ≤ γ ∪ ∪ δ.

(g) (α#γ) ∪ ∪ (β#γ) = (α ∪ ∪ β)#γ.

Beweis: (a),(b): klar.

(c) n(α ∪ ∪ β) = n(max{α, β}) + (max{n(α), n(β)} − n(max{α, β})) = max{n(α), n(β)}.

(d) α ≤ α ∪ ∪ β, also α ≤_{n(α)} α ∪ ∪ β. Wegen n(α) ≤ n(α ∪ ∪ β) < F_{α∪ ∪β}(1) folgt α ˜≤_{1}α ∪ ∪ β. Mit (b) folgt auch β ˜≤_{1}α ∪ ∪ β.

(e) Nach (a) ist max{α, β, γ} ≤ α ∪ ∪ (β ∪ ∪ γ) < max{α, β, γ} + ω und nach (c) n(α ∪ ∪ (β ∪ ∪ γ)) = max{n(α), n(β), n(γ)}, also α ∪ ∪ (β ∪ ∪ γ) = max{α, β, γ} + (max{n(α), n(β), n(γ)} − n(max{α, β, γ})). Genauso gilt (α ∪ ∪ β) ∪ ∪ γ = max{α, β, γ} + (max{n(α), n(β), n(γ)} − n(max{α, β, γ})).

(f) Sei ω·ρ ≤ max{α, β} < ω·(ρ + 1) und ω·ν ≤ {γ, δ} < ω·(ν + 1). Dann folgt ρ ≤ ν und ω·ρ ≤ α ∪ ∪ β < ω·(ρ + 1) und ω·ν ≤ γ ∪ ∪ δ < ω·(ν + 1). Falls ρ < ν, folgt α ∪ ∪ β < γ ∪ ∪ δ. Ist dagegen ρ = ν, folgt aus (a),(c) α ∪ ∪ β = ω·ρ+(max{n(α), n(β)}−n(ω·ρ)) ≤ ω·ρ+(max{n(γ), n(δ)}−n(ω·ρ)) = γ∪ ∪δ.

(g) Wegen (b) sei o.E. α ≥ β. Dann folgt α#γ ≥ β#γ, also (α#γ) ∪ ∪ (β#γ) = (α#γ)+(max{n(α#γ), n(β#γ)}−n(α#γ)) = α#γ +(max{n(α)+ n(γ), n(β) + n(γ)} − (n(α) + n(γ))) = α#γ + (max{n(α), n(β)} − n(α)) = (α ∪ ∪ β)#γ.

<_{k} und F_{k} auf ψ_{0}(ϵΩ_{ω}+1)

In diesem Kapitel betrachten wir die Relation <_{k} und die Funktionen F_{k} auf dem Ordinalzahlabschnitt ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) mit den Fundamentalfolgen aus Kapitel 4. Diese erfüllen die Bedingungen (+) und (P) aus Kapitel 9. Daß sie die Bachmann-Bedingung erfüllen, weisen wir zunächst nach. Weiter werden wir die Verträglichkeit von <_{k} mit ω^{α} und ϕ_{α}β untersuchen.

Definition 10.1 Hilfsdefinition von β^{−} und α <_{G} β für α, β ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) mit β ≠ 0: Falls dom(β) ∈ {{0}, IN}, ist β^{−} := β[0]. Falls dom(β) = T_{u}, ist β^{−} := β[Ω_{u}]. Für β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) entspricht diese Definition von β^{−} der Definition aus 8.6. α <_{G}^{1} β : ⇔α = β^{−}. <_{G} sei die transitive Hülle von <_{G}. α ≤_{G} β : ⇔(α = β) ∨ (α <_{G} β).

Bemerkung 10.2 α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ (α <_{G}^{1} β⇔α <_{0}^{1} β) ∧ (α <_{G} β⇔α <_{0} β).

Lemma 10.3

(a) Ω_{u} < β ≤ Ω_{u+1}, β ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ Ω_{u} <_{G} β.

(b) α, β, γ ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) α <_{G} β γ + β=_{NF} γ + β ⇒ γ + α <_{G} γ + β.

(c) α, β ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) α <_{G} β β ∈ C_{u}(β)

⇒ α ∈ C_{u}(α) ψ_{u}(α) <_{G} ψ_{u}(β).

10. <_{k} und F_{k} auf ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) 61

Beweis:

(a) folgt durch transfinite Induktion, da aus Ω_{u} < β ≤ Ω_{u+1} Ω_{u} ≤ β^{−} folgt.

(b) ist klar.

(c) folgt, da (ψ_{u}(β))^{−} = ψ_{u}(β^{−}) mit β^{−} ∈ C_{u}(β^{−}).

Lemma 10.4

(a) Seien α, β, γ ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), α <_{G} β, β ∈ T_{u} = dom(γ) ⇒ γ[α] <_{G} γ[β].

(b) Sei α ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Lim, dom(α) = IN ⇒ α[n] <_{G} α[n + 1].

Beweis: (a) Beweis durch Induktion nach min{n | γ ∈ C_{0}^{n}(ϵ_{Ω_{ω}+1})}: Falls γ = Ω_{u+1}, folgt γ[α] = α <_{G} β = γ[β]. Falls γ=_{NF} γ_{1} + γ_{2} γ_{2} ∈ P γ_{1} ≠ 0, folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung und Lemma 10.3(b). Falls γ = ψ_{v}(γ_{1}), γ_{1} ∈ C_{v}(γ_{1})∩C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), dom(γ_{1}) = T_{u} mit u < v, folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung und Lemma 10.3(c).

(b) Sei zunächst α ∈ P. Falls α = ψ_{ω}0, folgt α[n] = ψ_{n+1}0 = ψ_{n+2}0[Ω_{n+1}] <_{G} ψ_{n+2}0 = α[n + 1]. Falls α = ψ_{s}b mit dom(b) = {0}, folgt α[n] = ψ_{s}b[0]·(n + 1) <_{G} ψ_{s}b[0]·(n + 2) = α[n + 1]. Falls α = ψ_{s}β mit dom(β) = T_{u} und u ≥ s, gilt α[n] = ψ_{s}β[ζ_{n}] mit ζ_{0} := ψ_{u}0 und ζ_{n+1} := ψ_{u}β[ζ_{n}]. Durch Induktion nach n zeigen wir ζ_{n} <_{G} ζ_{n+1}:

Falls n = 0, folgt β[ψ_{u}0] ≠ 0 ⇒ 0 <_{G} β[ψ_{u}0]\underrightarrow{10.3(c)}ζ_{0} = ψ_{u}0 <_{G} ψ_{u}β[ψ_{u}0] = ζ_{1}. Ansonsten folgt nach der Induktionsvoraussetzung ζ_{n} <_{G} ζ_{n+1}, nach (a) β[ζ_{n}] <_{G} β[ζ_{n+1}] und nach Lemma 10.3(c) ζ_{n+1} = ψ_{u}(β[ζ_{n}]) <_{G} ψ_{u}(β[ζ_{n+1}]) = ζ_{n+2}. Aus ζ_{n} <_{G} ζ_{n+1} folgt mit (a) und 10.3(c) α[n] = ψ_{s}(β[ζ_{n}]) <_{G} ψ_{s}(β[ζ_{n+1}]) = α[n + 1]. Falls α ∉ P, α=_{NF} β + γ mit γ ∈ P, folgt aus dem Beweis für α ∈ P und Lemma 10.3(b) α[n] = β + γ[n] <_{G} β + γ[n + 1] = α[n + 1].

Lemma 10.5 α ∈ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ∩ Lim γ ∈ dom(α) ∩ C_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) α[γ] < β ≤ α[γ + 1] ⇒ α[γ] <_{G} β.

Beweis durch Induktion nach α: Sei α[γ] < β ≤ α[γ + 1]. Da nach Lemma 10.4 α[γ] <_{G} α[γ + 1], existiert ein δ mit α[γ] ≤_{G} δ^{−} < β ≤ δ ≤_{G} α[γ + 1]. Falls β = δ, ist die Behauptung klar. Falls β < δ, folgt δ ∈ Lim und es gibt ξ ∈ dom(δ) mit δ[ξ] ≤ β < δ[ξ + 1]. δ^{−} = δ[j], wobei j := 0, falls dom(δ) = IN, und j := Ω_{u}, falls dom(δ) = T_{u}. Da δ^{−} < β < δ[ξ + 1], folgt j ≤ ξ, nach Lemma 10.3(a) j ≤_{G} ξ und nach Lemma 10.4(a) δ^{−} = δ[j] ≤_{G} δ[ξ]. Da weiter nach Induktionsvoraussetzung δ[ξ] ≤_{G} β gilt, folgt α[γ] ≤_{G} δ^{−} ≤_{G} β. Da β ≠ α[γ], folgt α[γ] <_{G} β.

Satz 10.6 (ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), ·[·]) erfüllt die Bachmannbedingung.

Beweis: Bemerkung 10.2 und Lemma 10.5.

Lemma 10.7 Seien α, β, γ, ρ < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).

(a) α <_{k} β ⇒ ω^{α} <_{k+1} ω^{β}.

(b) ϕ_{ρ+1}γ ≤ α <_{k} β < ϕ_{ρ+1}(γ + 1)

⇒ ϕ_{ρ}α <_{k+1} ϕ_{ρ}β.

(c) ϵ_{ν} ≤ α <_{k} β < ϵ_{ν+1} ⇒ ω^{α} <_{k} ω^{β}.

(d) ϵ_{ν} ≤ α <_{k} β < ϵ_{ν+1} ⇒ ϕ_{ρ}ω^{α} <_{k} ϕ_{ρ}ω^{β}.

Beweis Beweis von (a) - (d) durch transfinite Induktion nach β. Es genügt, jeweils den Fall α <_{k}^{1} β zu betrachten, die allgemeine Behauptung folgt dann immer aus dem Fall α <_{k}^{1} β mit der Induktionsvoraussetzung.

(a) Falls β = α + 1, folgt ω^{β}[0] = ω^{α}. Sei nun β ∈ Lim, α = β[l] mit l ≤ k.

Es gilt ∃Is ∈ {−1, 0, 1} ∀^{\}j > 0(ω^{β}[j] = ω^{β[j+s]}).

Falls l = 0, folgt ω^{β}[1] = ω^{β[k]} für ein k ∈ {0, 1, 2}, und, da β[l] ≤_{0} β[k], folgt nach Induktionsvoraussetzung ω^{α} = ω^{β[l]} ≤_{1} ω^{β[k]} = ω^{β}[1] <_{1} ω^{β}. Falls l = s = 1, folgt aus β[1] <_{0} β[2] mit Induktionsvoraussetzung ω^{α} = ω^{β[1]} <_{1} ω^{β[2]} = ω^{β}[1] <_{1} ω^{β}. Ansonsten folgt ω^{α} = ω^{β[l]} = ω^{β}[l − s] <_{k+1} ω^{β}.

(b) Es gilt β ≠ ϕ_{ρ}β

Falls β = α + 1, folgt ϕ_{ρ}α = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1} + Ω_{1}^{ρ+1}·α_{1} + Ω_{1}^{ρ}·α_{2}) {10.2 u. 10.3 \atop <_{0}}

ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1} +Ω_{1}^{ρ+1}·α_{1} +Ω_{1}^{ρ}·α_{2} +Ω_{1}^{ρ}) = ϕ_{ρ}β. (Hierbei sollen (ρ, α, ρ_{1}, α_{1}, α_{2}) den Ordinalzahlen (α, β, ρ, β_{1}, β_{2}) in Defnition 6.3 entsprechen). Falls α = β[l] mit l > 0, β ∈ Lim, folgt (ϕ_{ρ}β)[m] = ϕ_{ρ}(β[l]) = ϕ_{ρ}α für ein m ∈ {l − 1, l, l + 1}. Falls α = β[0] mit β ∈ Lim, gilt (ϕ_{ρ}β)[1] = ϕ_{ρ}(β[l]) für ein l ∈ {0, 1, 2}, und es folgt aus der Induktionsvoraussetzung und β[0] ≤_{0} β[l], ϕ_{ρ}α = ϕ_{ρ}(β[0]) ≤_{0} ϕ_{ρ}(β[l]) = (ϕ_{ρ}β)[1] <_{1} ρ_{ρ}β.

(c),(d): In (d) kann o.E. ρ ≠ 0 angenommen werden, die Behauptung für ρ = 0 folgt durch zweimalige Anwendung von (c). Falls β = α + 1, folgt wegen 0 < ϵ_{ν} ≤ α β > 1, weiter ω^{β}[0] = ω^{α} und (ϕ_{ρ}ω^{β})[0] = ϕ_{ρ}(ω^{β}[0]_{H}) = ϕ_{ρ}ω^{α}, bzw. ,falls β = ω^{ϕ_{ρ+1}γ+1} für ein γ, (ϕ_{ρ}ω^{β})[0] = ϕ_{ρ}(ω^{β}[1]) = ϕ_{ρ}(ω^{α} + ω^{α}) = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1} +Ω_{1}^{ρ+1}·β_{1} +Ω_{1}^{ρ}·(ω^{α} +ω^{α})) >_{0} ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1} +Ω_{1}^{ρ+1}·β_{1} +Ω_{1}^{ρ}·ω^{α}) = ϕ_{ρ}ω^{α} (wobei ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1}) ≤ ρ < ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·(ρ_{1} + 1)), β = ψ_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1} + Ω_{1}^{ρ+1}·β_{1}), Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1} + Ω_{1}^{ρ+1}·β_{1} ∈ C_{0}(Ω_{1}^{Ω_{1}}·ρ_{1} + Ω_{1}^{ρ+1}·β_{1}). Falls β ∈ Lim und β[l] = α für ein l ≤ k, gilt ω^{β}[l] = ω^{β[l]} = ω^{α} oder ω^{β}[l] = ω^{β[l+1]} >_{0} ω^{α}, letzteres wegen β[l] <_{0} β[l + 1] und der Induktionsvoraussetzung. Weiter gilt dann (ϕ_{ρ}ω^{β})[l] = ϕ_{ρ}(ω^{β}[l]_{H}) = ϕ_{ρ}ω^{β[l]} = ϕ_{ρ}ω^{α} oder (ϕ_{ρ}ω^{β})[l] = ϕ_{ρ}(ω^{β}[l + 1]) = ϕ_{ρ}ω^{β[l+s]} >_{0} ϕ_{ρ}ω^{α} mit s ∈ {1, 2}, letzteres wegen β[l + s] >_{0} β[l] = α und der Induktionsvoraussetzung.

Folgerung 10.8 Sei δ < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).

(a) f : ω^{δ+1} → ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), α ↦ ω^{ω^{δ}+α} ist gut wachsend.

(b) f : ω^{δ+1} → ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), α ↦ ϕ_{ρ}(ω^{ω^{δ}+α}) ist gut wachsend.

Beweis: Gilt α <_{k} β < ω^{δ+1}. Dann folgt ϵ_{ν} ≤ ω^{δ} + α <_{k} ω^{δ} + β < ϵ_{ν+1}, falls ϵ_{ν} ≤ ω^{δ} < ϵ_{ν+1}. Dann folgt aber nach Lemma 10.7(c), (d) in (a) und (b) f(α) <_{k} f(β). Nach Lemma 8.13 folgt die Behauptung.

Lemma 10.9 α < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ n(ω^{α}) ≥ n(α).

Beweis durch transinite Induktion nach α: Falls α Epsilonzahl, ist die Behauptung klar. Ansonsten folgt ω^{α}[0] = ω^{α[i]} für ein i ∈ {0, 1}.

Da α[0] ≤_{0} α[i], folgt n(ω^{α}) = n(ω^{α}[0]) + 1 = n(ω^{α[i]}) + 1≥^{IV}n(α[i]) + 1 ≥

n(α[0]) + 1 = n(α).

Lemma 10.10 α < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}), n ∈ IN ⇒ F_{ω^{α}}(n) ≥ F_{α}(n).

Beweis durch transinite Induktion nach α: Falls n = 0, folgt F_{ω^{α}}(n) = 1 = F_{α}(n). Sei also n ≠ 0. Falls α Epsilonzahl, ist die Behauptung klar. Falls α Limeszahl, folgt ω^{α}[n] = ω^{α[l]} für ein l ∈ {n, n + 1}.

Da α[l] ≥_{0} α[n], folgt F_{ω^{α}}(n) = F_{ω^{α}[n]}(n) = F_{ω^{α[l]}}(n)≥^{IV}F_{α[l]}(n) ≥ F_{α[n]}(n) =

F_{α}(n).

Falls α Nachfolgerzahl, folgt F_{ω^{α}}(n) = F_{ω^{α[0]}·(n+1)}(n) ≥^{ω^{α[0]}·(n+1)≥_{1}ω^{α}[0]+1}

F_{ω^{α[0]}+1}(n) = F_{ω^{α[0]}}^{n+1}(n)≥^{IV}F_{α[0]}^{n+1}(n) = F_{α[0]+1}(n) = F_{α}(n).

Lemma 10.11 ω ≤ γ < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ ω ≤_{0} γ.

Beweis: Falls γ ∈ P, folgt γ = ψ_{0}ρ mit 1 ≤ ρ ∈ C_{0}(ρ). Dann folgt nach Lemma 10.3(a) 1 ≤_{G} ρ also nach 10.3(c) ω = ψ_{0}(1) ≤_{G} ψ_{0}(ρ), mit Bemerkung 10.2 also die Behauptung. Falls γ ∉ P, folgt γ=_{NF} γ_{1} + ⋯ + γ_{k} mit 0 ≠ γ_{i} ∈ P. Es folgt ω ≤ γ_{1}, also, da γ_{1} ∈ P, ω ≤_{0} γ_{1} <_{0} γ.

Definition 10.12 Seien α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}). α <_{k,H}^{1} β : ⇔β[i]_{H} = α für ein i ≤ k (vgl. Definition 7.2). <_{k,H} sei die transitive Hülle von <_{k,H}^{1}. α ≤_{k,H} β : ⇔(α = β ∨ α <_{k,H} β), β >_{k,H} α : ⇔α <_{k,H} β, β ≥_{k,H} α : ⇔α ≤_{k,H} β.

Lemma 10.13 α <_{k} β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ α <_{k+1,H} β.

Beweis: durch Induktion nach β. Es genügt, den Fall α <_{k}^{1} β zu betrachten, der allgemeine Fall folgt dann jeweils mit der Induktionsvoraussetzung. Falls β = α + 1, folgt β[0]_{H} = α. Sei β ∈ Lim, β[i] = α mit i ≤ k. Dann folgt

∃Is ∈ {−1, 0, 1} ∀^{\}j > 0(β[j]_{H} = β[j + s]).

Falls i = 0, folgt α = β[0] ≤_{0} β[1 + s] = β[1]_{H} <_{1,H} β, mit Induktionsvoraussetzung also α ≤_{1,H} β[1]_{H} <_{1,H} β. Falls i = 1 und s = 1, folgt α = β[1] <_{1} β[2] = β[1]_{H}, also mit Induktionsvoraussetzung α <_{2,H} β[1]_{H} <_{1,H} β. Ansonsten folgt α = β[i] = β[i − s]_{H} <_{k+1,H} β.

Lemma 10.14 Seien ρ, ρ_{1}, γ < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}). ρ <_{n,H} ρ_{1} ⇒ ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1) <_{n} ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1).

Beweis: durch transfinite Induktion nach ρ_{1}, simultan für alle γ. Sei zunächst ρ <_{n,H}^{1} ρ_{1}. Falls ρ_{1} = 1, ρ = 0, folgt ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1)[0] = ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1). Falls ρ_{1} = ρ + 1, ρ > 0, folgt ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1)[0] = ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + ω). Weiter gilt (ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + ω))[0] = ϕ_{ρ}(((ϕ_{ρ_{1}}γ) + ω)[0]_{H}) = ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1). Falls ρ_{1} = ω, folgt ρ = k +1 mit k ≤ n. Gilt dann k = 0 folgt ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1)[0] =

ϕ_{2}(ϕ_{ρ_{1}}γ + 1) {Fall ρ = 2 \atop >_{0}} ϕ_{1}(ϕ_{2}ϕ_{ρ_{1}}γ + 1) = ϕ_{1}(ϕ_{ρ_{1}}γ + 1). Gilt aber k > 0 folgt ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1)[k − 1] = ϕ_{k+1}(ϕ_{ρ_{1}}γ + 1). Falls ω ≠ ρ_{1} ∈ Lim, ρ_{1}[k]_{H} = ρ für ein k ≤ n, folgt ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1)[k] = ϕ_{ρ_{1}[k]_{H}}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1) = ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1). Gilt nicht ρ <_{n,H}^{1} ρ_{1} so existiert ein ρ_{2} mit ρ <_{n,H} ρ_{2} <_{n,H}^{1} ρ_{1}, mit obigem Fall und der Induktionsvoraussetzung folgt also ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1) >_{n} ϕ_{ρ_{2}}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1) >_{n} ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1) = ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1).

Lemma 10.15 α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ (ϕ_{α}β)·(n + 1) <_{n} ϕ_{α}(β + 1).

Beweis durch transfinite Induktion nach α: Falls α = 0, gilt ϕ_{α}(β + 1)[n] = ϕ_{α}β·(n + 1).

Falls α = 1, gilt ϕ_{α}(β + 1)[0] = ϕ_{0}(ϕ_{1}β + 1) {Fall α = 0 \atop >_{n}} (ϕ_{0}ϕ_{1}β)·(n + 1) = ϕ_{1}β·(n + 1).

Falls α = δ +1 > 1, gilt ϕ_{α}(β + 1)[0] = ϕ_{δ}(ϕ_{α}β +ω). Weiter ϕ_{δ}(ϕ_{α}β +ω)[0] =

ϕ_{δ}((ϕ_{α}β + ω)[0]_{H}) = ϕ_{δ}(ϕ_{α}β + 1)>^{IV}_{n}(ϕ_{δ}(ϕ_{α}β))·(n + 1) = ϕ_{α}β·(n + 1).

Falls α = ω, folgt (ϕ_{α}(β + 1))[0] = ϕ_{2}((ϕ_{α}β) + 1)>^{IV}(ϕ_{2}ϕ_{α}β)·(n + 1) = (ϕ_{α}β)·(n + 1). Gilt ω ≠ α ∈ Lim so folgt

ϕ_{α}(β + 1)[0] = ϕ_{(α[0]_{H})}((ϕ_{α}β) + 1)>^{IV}_{n}(ϕ_{α[0]_{H}}ϕ_{α}β)·(n + 1) = ϕ_{α}β·(n + 1).

Folgerung 10.16 α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ ϕ_{α}β + 1 <_{1} ϕ_{α}(β + 1).

Beweis:

ϕ_{α}β + 1≤_{0}ϕ_{α}β + ϕ_{α}β{10.15 \atop <_{1}}ϕ_{α}(β + 1).

Lemma 10.17 Seien γ, ρ_{2}, ρ < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).

(a) ϕ_{ρ}^{l+1}(ϕ_{ρ+1}γ + 1) <_{l} ϕ_{ρ+1}(γ + 1).

(b) ρ_{2} <_{n} ρ_{1} ⇒ ϕ_{ρ_{2}}^{l+1}(ϕ_{ρ_{1}}γ + 1) <_{max{n+2,l}} ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1).

Beweis:

(a) Falls ρ = 0, gilt ϕ_{ρ+1}(γ + 1)[l] = ϕ_{ρ}^{l+1}((ϕ_{ρ+1}γ) + 1). Falls ρ > 0, gilt ϕ_{ρ+1}(γ + 1)[l] = ϕ_{ρ}^{l+1}(ϕ_{ρ+1}γ + ω)) Durch Induktion nach k zeigen wir ϕ_{ρ}^{k+1}(ϕ_{ρ+1}γ + 1) <_{k} ϕ_{ρ}^{k+1}(ϕ_{ρ+1}γ + ω):

Im Fall k = 0 gilt

ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ+1}γ + ω)[0] = ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ+1}γ + ω)[0]_{H}) = ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ+1}γ + 1).

Im Fall k = k′ + 1 folgt nach Induktionsvoraussetzung ϕ_{ρ+1}(γ) < ϕ_{ρ}^{k′+1}(ϕ_{ρ+1}γ + 1) <_{k′} ϕ_{ρ}^{k′+1}(ϕ_{ρ+1}γ + ω) < ϕ_{ρ+1}(γ + 1), mit Lemma 10.7(b) also die Behauptung.

(b) Falls ρ_{1} = ρ_{2} + 1, ist dies Behauptung (a).

Sei also ρ_{2} +1 < ρ_{1}. Dann folgt ρ_{2} +1 <_{n+1} ρ_{1}\underrightarrow{10.13}ρ_{2} +1 ≤_{n+2,H} ρ_{1}. Es folgt

ϕ_{ρ_{2}}^{l+1}(ϕ_{ρ_{1}}γ + 1) = ϕ_{ρ_{2}}^{l+1}((ϕ_{ρ_{2}+1}ϕ_{ρ_{1}}γ) + 1){(a) \atop <_{l}}ϕ_{ρ_{2}+1}(ϕ_{ρ_{1}}γ + 1){10.14 \atop <_{n+2}}ϕ_{ρ_{1}}(γ + 1).

Folgerung 10.18 Seien ρ, γ < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}). ϕ_{ρ}((ϕ_{ρ+1}γ)·(n + 1)) <_{n+1} ϕ_{ρ+1}(γ + 1).

Beweis:

ϕ_{ρ}ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ+1}γ + 1){10.17(a) \atop <_{1}}ϕ_{ρ+1}(γ + 1).

Da ϕ_{ρ+1}γ ≤ ϕ_{ρ+1}γ·(n + 1) = ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ+1}γ)·(n + 1) {10.15 \atop <_{n}}ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ+1}γ + 1)

< ϕ_{ρ+1}(γ + 1), folgt mit Lemma 10.7(b) ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ+1}γ·(n + 1)) <_{n+1} ϕ_{ρ}ϕ_{ρ}(ϕ_{ρ+1}γ + 1).

Lemma 10.19 Seien ρ_{1}, ρ_{2}, δ, α̃ < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}).

Sei ρ_{2} <_{n} ρ_{1} ⇒ ϕ_{ρ_{2}}(ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3}) <_{max{n+2,4}} ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}+1}).

Beweis:

1) Behauptung: ϕ_{ρ_{2}}(ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3}) <_{4} ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1) oder

<_{4} ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1).

Beweis: Fall 1: ρ_{2} = 0.

ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3 = ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})}·3 <_{2} ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})+1}

⇒ ϕ_{ρ_{2}}(ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3}){10.7(a) \atop <_{4}}ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1).

Fall 2: ρ_{2} > 0:

ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3wie in Fall 1 ; <_{2}ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})+1}.

0 <_{0} ρ_{2}, also nach Lemma 10.13 0 <_{1,H} ρ_{2}, also folgt nach Lemma 10.14

ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})+1} = ϕ_{0}(ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})) + 1) <_{2} ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1).

Mit Lemma 10.7(a) folgt ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3} <_{3} ω^{ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ}+_{α})+1)} = ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) +

1).

Sei ϕ_{ρ_{2}+1}γ ≤ ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) < ϕ_{ρ_{2}+1}(γ + 1). Dann gilt ϕ_{ρ_{2}+1}γ < ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3} <_{3}

ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1) < ϕ_{ρ_{2}+1}(γ + 1). Mit Lemma 10.7(b) folgt ϕ_{ρ_{2}}(ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3})

<_{4} ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1).

2) Nach Lemma 10.17(b) gilt

ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1) <_{n+2} ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}} + 1) und

ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}ϕ_{ρ_{2}}(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}) + 1) <_{max{n+2,3}} ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}} + 1).

3) ω^{δ+_{α}} + 1 <_{0} ω^{δ+_{α}}·2 <_{1} ω^{δ+_{α}+1}, und, falls ϕ_{ρ_{1}+1}γ ≤ δ + α̃ < ϕ_{ρ_{1}+1}(γ + 1),

folgt ϕ_{ρ_{1}+1}γ ≤ ω^{δ+_{α}} + 1 <_{1} ω^{δ+_{α}+1} < ϕ_{ρ_{1}+1}(γ + 1),

also mit Lemma 10.7 ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}} + 1) <_{2} ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}+1}).

Lemma 10.20 α, β < ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) ⇒ F_{β}(n) ≤ F_{ϕ_{α}β}(n + 1).

Beweis durch transfinite Induktion nach β: Falls β = 0, folgt die Behauptung aus den Lemmata 8.5(b) und 8.7(c). Falls β = ϕ_{α}β, ist die Behauptung trivial. Falls β = γ + 1 und n ≠ 0, folgt

F_{γ+1}(n) = F_{γ}^{n+1}(n)

≤ (F_{ϕ_{α}γ}(· + 1))^{n+1}(n) [nach Induktionsvoraussetzung] ≤ F_{ϕ_{α}γ+1}^{n+1}(n) = F_{ϕ_{α}γ+2}(n) ≤ F_{ϕ_{α}γ+2}(n + 1) ≤ F_{ϕ_{α}(γ+1)}(n + 1).

[denn ϕ_{α}γ + 2 <_{2} ϕ_{α}γ + ϕ_{α}γ{10.15 \atop <_{1}}ϕ_{α}(γ + 1)

bzw., falls α = γ = 0, ϕ_{α}γ + 2 = 3 <_{2} ω = ϕ_{α}(γ + 1).]

Falls β = γ + 1 und n = 0, gilt:

F_{γ+1}(0) = F_{γ}(0) ≤ F_{ϕ_{α}γ}(1) ≤ F_{ϕ_{α}(γ+1)}(1). [da ϕ_{α}γ <_{1} ϕ_{α}(γ + 1)] Falls β ∈ Lim, β ≠ ϕ_{α}β, folgt ϕ_{α}β[n + 1] = ϕ_{α}(β[n + s]) für ein s ∈ {0, 1, 2}. Wegen β[n] ≤_{0} β[n + s] folgt F_{β}(n) = F_{β[n]}(n) ≤ F_{β[n+s]}(n)

≤^{IV}F_{ϕ_{α}(β[n+s])}(n + 1) = F_{(ϕ_{α}β)[n+1]}(n + 1) = F_{ϕ_{α}β}(n + 1).

Teil II

Beweistheoretische Analyse Schnittelimination und Kollabierung im Beweiskalkül (Σ)

Mit diesem Kapitel beginnt der beweistheoretische Teil der Arbeit. In Kapitel 11 wird das halbformale System (Σ) eingeführt, das Kollabierungslemma bewiesen und Schnittelimination durchgeführt. Damit können für in (Σ) bewiesene Π_{2}^{0}-Sätze sofort Schranken angegeben werden. Um für in anderen Theorien bewiesene Π_{2}^{0}-Sätze Schranken zu finden, müssen diese dann in (Σ) interpretiert werden, was in den Kapiteln 12 - 14 für die Peano-Arithmetik und Δ_{1}^{1}-Analysis geleistet wird.

Definition 11.1 Gegeben sei eine Menge von Formeln. Jeder Formel A sei eine Indexmenge I, Formeln (A_{ι})_{ι∈I} und ein Symbol ∧ ∧ oder ∨ ∨ zugeordnet, im Zeichen A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι} oder A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι}, wobei jedem ι ∈ I eine natürliche Zahl ν(ι) zugeordnet wird. Jeder Formel A sei die negierte Formel ¬A zugeordnet, so daß gilt:

A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι} ⇒ ¬A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι},

A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι} ⇒ ¬A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι},

sowie ¬¬A≡A. Für jede Formel A sei der Rang von A, eine Ordinalzahl |A|, definiert, so daß

gilt: A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι} oder A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι} ⇒ ∀^{\}ι ∈ I(|A_{ι}| < |A|) und weiter |A| = |¬A|.

n(A) := n(|A|). Wenn nicht anders angegeben, sei in den konkreten Beispielen, falls ι = α Ordinalzahl (auch natürliche Zahl), ν(α) := n(α), und, falls ι = F Formel oder Prädikator, ν(F) := n(|F |) = n(F).

Die Vorstellung dabei ist, daß alle Formeln Formeln ohne freie Variable sind, und für wahre Primformeln A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈∅} A_{ι} sowie für falsche Primformeln A=^{∧}

∨ ∨_{ι∈∅} A_{ι} gilt. Für Formeln A = A_{0} ∧ A_{1} gilt dann A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈{0,1}} A_{ι}, allquantifizierte

Formeln sind dann ∧ ∧-Formeln mit unendlichem I. Analog wird A_{0} ∨ A_{1} und ∃xA(x) interpretiert.

Definition 11.2 Induktive Definition von Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ (n ≥ 1):

(∧ ∧) A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι}, A ∈ Γ ∧ ∀^{\}ι ∈ I(Σ⊢_{ρ}^{α,n∪ν(ι)}Γ, A_{ι}) ⇒ Σ⊢_{ρ}^{α+1,n}Γ.

(∨ ∨) A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι}, A ∈ Γ∧ ∃Iι_{0} ∈ I(ν(ι_{0}) < F_{α}(n), n(A_{ι_{0}}) ≤ n(α) ≠ 0,

Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, A_{ι_{0}}) ⇒ Σ⊢_{ρ}^{α+1,n}Γ.

(Cut) Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, A und Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, ¬A mit |A| < ρ, n(A) ≤ n(α) ⇒

Σ⊢_{ρ}^{α+1,n}Γ.

(◁) Σ⊢_{ρ}^{β,k}Γ, β <_{k} α, k < F_{α}(n), n ≥ 1 ⇒ Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ.

Lemma 11.3 Abschwächungslemma:

Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ mit n ≤ m, ρ ≤ ρ̃, Γ ⊂ Γ̃ ⇒ Σ⊢α,m ; _{ρ}Γ̃.

Beweis durch transfinite Induktion nach α: klar

Im Folgenden wird das Abschwächungslemma oft angewendet, ohne explizit erwähnt zu werden.

Lemma 11.4 Regel ( ˜<): Gilt Σ⊢_{ρ}^{α,k}Γ mit α ˜<_{n}β, und k < F_{β}(n). Dann gilt Σ⊢_{ρ}^{β,n}Γ.

Beweis: Es gilt α ˜<_{n}β, also gibt es γ_{i}, m_{i}, so daß α <_{m_{1}} γ_{1} <_{m_{2}} γ_{2} <_{m_{3}} ⋯ <_{m_{j}} γ_{j} = β wobei m_{i} < F_{γ_{i}}(m_{i+1}), m_{j} < F_{β}(n). Wir können o.E. annehmen, daß m_{i} = F_{γ_{i}}(m_{i+1}) − 1 und m_{j} = F_{γ_{j}}(n) − 1. Daraus folgt dann F_{β}(n) − 1 = m_{j} ≤ m_{j−1} ≤ ⋯ ≤ m_{1}, also folgt aus Σ⊢_{ρ}^{α,k}Γ mit dem

Abschwächungslemma 11.3 Σ⊢_{ρ}^{α,m_{1}}Γ, \underrightarrow{(◁)}Σ⊢_{ρ}^{γ_{1},m_{2}}Γ, \underrightarrow{(◁)} ⋯ \underrightarrow{(◁)}Σ⊢_{ρ}^{γ_{j},n}Γ, d.h. Σ⊢_{ρ}^{β,n}Γ, die Behauptung.

Definition 11.5 Definition von ⊧A[m/n] durch Induktion nach |A|.

A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι} dann ⊧A[m/n] : ⇔ ∀^{\}ι ∈ I(ν(ι) ≤ m → ⊧A_{ι}[m/n]).

A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι} dann ⊧A[m/n] : ⇔∃Iι ∈ I(ν(ι) ≤ n ∧ ⊧A_{ι}[m/n]).

⊧Γ[m/n] : ⇔∃IA ∈ Γ(⊧A[m/n]).

Lemma 11.6 Kollabierungslemma. Σ⊢_{0}^{α,n}Γ ⇒ ⊧Γ[n/F_{α+1}(n)].

Beweis durch transfinite Induktion nach α: Fallunterscheidung nach der letzten Schlußregel.

(∧∧) Sei α = α̃ + 1, A=^{∧} ∧∧_{ι∈I} A_{ι}, A ∈ Γ und ∀^{\}ι ∈ I (Σ⊢_{0}^{_{α}, n∪ν(ι)}Γ, A_{ι}). Dann

folgt nach Induktionsvoraussetzung ∀^{\}ι ∈ I(⊧Γ, A_{ι}[n ∪ ν(ι)/F_{_{α}+1}(n ∪ ν(ι)],

also folgt ∀^{\}ι ∈ I(ν(ι) ≤ n → ⊧Γ, A_{ι}[n/F_{_{α}+1}(n)]). Gilt nun ∀^{\}ι ∈ I(ν(ι) ≤

n → ⊧A_{ι}[n/F_{_{α}+1}(n)]), so folgt ⊧A[n/F_{α}(n)], also ⊧Γ[n/F_{α+1}(n)]. Ansonsten gilt ∃Iι ∈ I(ν(ι) ≤ n ∧ ⊧Γ[n/F_{_{α}+1}(n)]), d.h. ⊧Γ[n/F_{α+1}(n)].

(∨∨) Sei α = α̃ + 1, A=^{∧} ∨∨_{ι∈I} A_{ι}, A ∈ Γ, ι_{0} ∈ I mit ν(ι_{0}) < F_{α}(n) und n(A_{ι_{0}}) ≤

n(α̃) ≠ 0, und gelte Σ⊢_{0}^{_{α},n}Γ, A_{ι_{0}}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann ⊧Γ, A_{ι_{0}}[n/F_{_{α}+1}(n)]. Gilt ⊧A_{ι_{0}}[n/F_{_{α}+1}(n)] folgt ⊧A[n/F_{α+1}(n)]. Ansonsten folgt ⊧Γ[n/F_{_{α}+1}(n)], also wieder die Behauptung. (◁) Gelte Σ⊢_{0}^{β,k}Γ mit β <_{k} α, k < F_{α}(n) und 1 ≤ n. Nach dem Abschwächungslemma können wir o. E. annehmen k = F_{α}(n) − 1 ≥ n. Nach Induktionsvoraussetzung gilt ⊧Γ[k, F_{β+1}(k)]. Da β <_{k} α folgt β + 1 ≤_{k+1} α, also F_{β+1}(k) ≤ F_{β+1}(k + 1) ≤ F_{α}(k + 1) = F_{α}(F_{α}(n)) ≤ F_{α+1}(n), also ⊧Γ[n, F_{α+1}(n)].

Lemma 11.7 (∧ ∧)-Inversionslemma.

A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι}, Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, A ⇒ ∀^{\}ι ∈ I(Σ⊢_{ρ}^{α,n∪ν(ι)}Γ, A_{ι}).

Beweis durch transfinite Induktion nach α: Fallunterscheidung nach dem letzten Beweisschluß.

(∧∧) Sei α = α̃ + 1, B=^{∧} ∧∧_{_{ι}∈_{I}}B_{ι}, B ∈ Γ, A und

∀^{\}ι̃ ∈ Ĩ(Σ⊢_{ρ}^{_{α},n∪ν(_{ι})}Γ, A, B_{ι}. Falls A≡B, folgt nach Induktionsvoraussetzung ∀^{\}ι ∈ I(Σ⊢_{ρ}^{_{α},n∪ν(ι)}Γ, A_{ι}), und mit (◁) die Behauptung. Ansonsten folgt nach Induktionsvoraussetzung ∀^{\}ι ∈ I ∀^{\}ι̃ ∈ Ĩ(Σ⊢_{ρ}^{_{α},n∪ν(_{ι})∪ν(ι)}Γ, A_{ι}, B_{ι}), und mit Anwendung der (∧∧)-Regel auf B die Behauptung.

(∨∨) Sei α = α̃ + 1, B=^{∧} ∨∨_{_{ι}∈_{I}}B_{ι}, B ∈ Γ, ι_{0} ∈ Ĩ mit ν(ι_{0}) < F_{α}(n) und

n(B_{ι_{0}}) ≤ n(α̃) ≠ 0, und gelte Σ⊢_{ρ}^{_{α},n}Γ, B_{ι_{0}}, A. Nach Induktionsvoraussetzung gilt Σ⊢_{ρ}^{_{α},n∪ν(ι)}Γ, B_{ι_{0}}, A_{ι} und mit einer einfachen Anwendung von (∨∨) folgt die Behauptung.

(Cut) Sei α = α̃ + 1, Σ⊢_{ρ}^{_{α},n}Γ, B, A und Σ⊢_{ρ}^{_{α},n}Γ, ¬B, A mit |B| < ρ und

n(B) ≤ n(α̃). Nach Induktionsvoraussetzung folgt Σ⊢_{ρ}^{_{α},n∪ν(ι)}Γ, B, A_{ι} und Σ⊢_{ρ}^{_{α},n∪ν(ι)}Γ, ¬B, A_{ι} und mit einem (Cut)-Schluß folgt die Behauptung. (◁) Σ⊢_{ρ}^{β,k}Γ, A mit β <_{k} α und k < F_{α}(n), 1 ≤ n. Nach Induktionsvoraussetzung gilt Σ⊢_{ρ}^{β,k∪ν(ι)}Γ, A_{ι}. Da β <_{k∪ν(ι)} α und k ∪ ν(ι) < F_{α}(n ∪ ν(ι)), folgt die Behauptung.

Lemma 11.8 (∨ ∨)-Inversionslemma.

Gelte Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, A wobei A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι} und I endlich ist, I = {ι_{1}, …, ι_{k}}.

Dann folgt ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, A_{ι_{1}}, …, A_{ι_{k}}.

Beweis: durch transfinite Induktion nach α: Falls α = α̃ + 1 und Σ⊢_{ρ}^{_{α},n}Γ, A, A_{ι_{0}}, folgt aus der Induktionsvoraussetzung Σ⊢_{ρ}^{_{α},n}Γ, A_{ι_{1}}, …, A_{ι_{k}}, und mit (◁) die Behauptung. . Ansonsten folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung.

Lemma 11.9 Reduktionslemma:

Gelte A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι}, α + β=_{NF} α + β, |A| ≤ ρ. Gelte Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, ¬A und

Σ⊢_{ρ}^{β,n}Γ, A. Dann folgt Σ⊢_{ρ}^{α+β,n}Γ.

Beweis durch transfinite Induktion nach β: Fallunterscheidung nach der letzten Beweisregel in ⊢_{ρ}^{β,n}Γ, A .

(∧∧) B=^{∧} ∧∧_{_{ι}∈_{I}}B_{ι}, B ∈ Γ, β = β̃ + 1 und ∀^{\}ι̃ ∈ Ĩ(Σ⊢_{ρ}^{_{β},n∪ν(_{ι})}Γ, A, B_{ι}). Mit

Abschwächungslemma 11.3 folgt Σ⊢_{ρ}^{α,n∪ν(_{ι})}Γ, ¬A, B_{ι} und mit der Induktionsvoraussetzung also Σ⊢_{ρ}^{α+_{β},n∪ν(_{ι})}Γ, B_{ι}. Durch Anwendung von (∧∧) folgt die Behauptung. (∨∨), leichter Fall: B=^{∧} ∨∨_{_{ι}∈_{I}}B_{ι}, B ∈ Γ, β̃ + 1 = β, ι_{0} ∈ Ĩ mit ν(ι_{0}) < F_{β}(n)

und n(B_{ι_{0}}) ≤ n(β̃) ≠ 0. Weiter gelte Σ⊢_{ρ}^{_{β},n}Γ, A, B_{ι_{0}}. Nach dem Abschwächungslemma 11.3 folgt Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, ¬A, B_{ι_{0}}. Nach Induktionsvorausset-

zung gilt Σ⊢_{ρ}^{α+_{β},n}Γ, B_{ι_{0}}. Da ν(ι_{0}) < F_{β}(n){9.1 (a) \atop ≤}F_{α+_{β}}(n) und n(B_{ι_{0}}) ≤ n(β̃)

{9.1 (c) \atop ≤}n(α + β̃) ≠ 0, folgt mit einem (∨∨)- Schluß die Behauptung. (∨∨), Hauptfall: Sei β = β̃ + 1, ι_{0} ∈ I mit ν(ι_{0}) < F_{β}(n) und n(A_{ι_{0}}) ≤

n(β̃) ≠ 0, und gelte Σ⊢_{ρ}^{_{β},n}Γ, A, A_{ι_{0}}. Aus dem (∧∧)-Inversionslemma 11.7 folgt

Σ⊢_{ρ}^{α,n∪ν(ι_{0})}Γ, ¬A_{ι_{0}}. Da α <_{0} α + β̃ und 1 ≤ n < F_{α+_{β}}(n) und ν(ι_{0}) <

F_{β}(n){9.1 (a) \atop ≤}F_{α+_{β}}(n), folgt mit (◁)

Σ⊢_{ρ}^{α+_{β},n}Γ, ¬A_{ι_{0}}. (1)

Aus dem Abschwächungslemma 11.3 folgt weiter Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ, A_{ι_{0}}, ¬A. Zusammen mit Σ⊢_{ρ}^{_{β},n}Γ, A_{ι_{0}}, A ergibt die Induktionsvoraussetzung dann

Σ⊢_{ρ}^{α+_{β},n}Γ, A_{ι_{0}}. (2)

Ein (Cut) von (1) und (2) ergibt wegen |A_{ι_{0}}| < |A| ≤ ρ, n(A_{ι_{0}}) ≤ n(β̃){9.1 (c) \atop ≤} n(α + β̃) die Behauptung.

(Cut): Gelte Σ⊢_{ρ}^{_{β},n}Γ, A, B und Σ⊢_{ρ}^{_{β},n}Γ, A, ¬B mit β̃+1 = β, |B| < ρ, n(B) ≤

n(β̃). Dann folgt mit Abschwächungslemma 11.3 und der Induktionsvoraussetzung Σ⊢_{ρ}^{α+_{β},n}Γ, B und Σ⊢_{ρ}^{α+_{β},n}Γ, ¬B. Ein (Cut) ergibt dann die Behauptung (da n(β̃) ≤ n(α + β̃)). (◁): Gilt Σ⊢_{ρ}^{_{β},k}Γ, A mit β̃ <_{k} β, k < F_{β}(n), 1 ≤ n. Nach Abschwächungslemma 11.3 gilt dann auch Σ⊢_{ρ}^{_{β},k∪n}Γ, A und Σ⊢_{ρ}^{α,k∪n}Γ, ¬A, nach Induktionsvoraussetzung also Σ⊢_{ρ}^{α+_{β},k∪n}Γ. Da nun α+β̃ <_{k∪n} α+β, k∪n < F_{β}(n){9.1 (a) \atop ≤} F_{α+β}(n) mit 1 ≤ n, folgt die Behauptung mit (◁).

Lemma 11.10 (Wendet man ein gut wachsendes f auf die Herleitungsordnung an, ziehen sich alle Beweisschlüsse durch.) Sei f : γ → ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1}) gut wachsend(γ ≤ ψ_{0}(ϵ_{Ω_{ω}+1})). Dann folgt:

(a) Gilt A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι}, A ∈ Γ und ∀^{\}ι ∈ I(Σ⊢_{ρ}^{f(α),n∪ν(ι)}Γ, A_{ι}), dann folgt

Σ⊢_{ρ}^{f(α+1),n}Γ.

(b) Gilt A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι}, A ∈ Γ und ∃Iι_{0} ∈ I(ν(ι_{0}) < F_{α}(n), n(A_{ι_{0}}) ≤ n(α) ≠

0, Σ⊢_{ρ}^{f(α),n}Γ, A_{ι_{0}}), dann folgt Σ⊢_{ρ}^{f(α+1),n}Γ.

(c) Gilt Σ⊢_{ρ}^{f(α),n}Γ, A und Σ⊢_{ρ}^{f(α),n}Γ, ¬A mit |A| < ρ, n(A) ≤ n(α), dann folgt Σ⊢_{ρ}^{f(α+1),n}Γ.

(d) Gilt Σ⊢_{ρ}^{f(β),k}Γ mit β <_{k} α, k < F_{α}(n), n ≠ 0, dann gilt Σ⊢_{ρ}^{f(α),n}Γ.

Beweis: Beachte generell: f(α) + 1 ˜≤_{1}f(α + 1), also folgt aus der Regel ( ˜<) 11.4: (Σ⊢_{ρ}^{f(α)+1,n}Γ ⇒ Σ⊢_{ρ}^{f(α+1),n}Γ)) (∗) Zu (a): Mit (∧∧) folgt Σ⊢_{ρ}^{f(α)+1,n}Γ und mit (∗) die Behauptung. Zu (b): Mit (∨∨) folgt, da F_{α}(n) ≤ F_{f(α)}(n) und n(α) ≤ n(f(α)), Σ⊢_{ρ}^{f(α)+1,n}Γ, mit (∗) dann die Behauptung. Zu (c): Wegen n(α) ≤ n(f(α)) folgt mit (Cut) Σ⊢_{ρ}^{f(α)+1,n}Γ, und mit (∗) die Behauptung. Zu (d): Gilt Σ⊢_{ρ}^{f(β),k}Γ, β <_{k} α, , k < F_{α}(n), n ≠ 0. Dann folgt β ˜<_{n}^{1}α, also f(β) ˜<_{n}f(α). Mit Regel ( ˜<), Lemma 11.4, folgt die Behauptung.

Satz 11.11

1. Schnitteliminationssatz: Σ⊢_{ρ+(1+ρ_{1})}^{α,n}Γ, α < ω^{δ_{0}+1}, δ := ω^{δ_{0}} wobei mit ρ_{0} := 1 + ρ_{1} ρ + ρ_{0} =_{NF} ρ + ρ_{0}.

⇒ Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}),n}Γ.

Beweis durch Hauptinduktion nach ρ_{1}, Nebeninduktion nach α: Fallunterscheidung nach der letzten Regel.

Die Fälle (∧∧), (∨∨), (Cut) mit |A| < ρ, und (◁) folgen aus Lemma 11.10, Folgerung 10.8 und der Nebeninduktionsvoraussetzung. Es bleibt der Fall (Cut) mit |A| ≥ ρ.

Sei α = α̃ + 1, Σ⊢_{ρ+(1+ρ_{1})}^{_{α},n}Γ, A, Σ⊢_{ρ+(1+ρ_{1})}^{_{α},n}Γ, ¬A mit ρ ≤ |A| < ρ + (1 + ρ_{1})

und n(A) ≤ n(α̃). Nach Nebeninduktionsvoraussetzung gilt

Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}),n}Γ, A und Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}),n}Γ, ¬A. Mit dem Reduktionslemma 11.9

folgt Σ⊢_{|A|}^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·2,n}Γ.

Falls |A| = ρ, folgt, da, falls ϕ_{ρ_{1}+1}γ ≤ δ + α̃ < ϕ_{ρ_{1}+1}(γ + 1), ϕ_{ρ_{1}+1}γ ≤ ω^{δ+_{α}} + 1 <_{1} ω^{δ+_{α}}·2 <_{1} ω^{δ+α} < ϕ_{ρ_{1}+1}(γ + 1) gilt, mit Lemma 10.7(b)

ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·2{10.15 \atop <_{1}}ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}}+1) <_{2} ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}). Da 2∪n < n(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}))·2+n+

1 ≤ F_{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α})}(n), folgt mit Abschwächungslemma 11.3 und einem (◁)-Schluß

Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}),n}Γ. Falls |A| > ρ, folgt |A| = ρ + 1 + ρ_{2} mit ρ_{2} < ρ_{1}. Nach Hauptindukti-

onsvoraussetzung folgt Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{ρ_{2}}(ω^{ϕρ_{1} (ω^{δ+_{α}})·3}),n}Γ. Nun gilt n(ρ_{2}) ≤ n(1 + ρ_{2}) ≤

n(ρ + 1 + ρ_{2}) = n(A) ≤ n(α){10.8 \atop ≤}n(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α})).

Mit k := n(ρ_{2}) gilt dann ρ_{2} <_{k} ρ, also nach Lemma 10.19

ϕ_{ρ_{2}}(ω^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+_{α}})·3}) <_{max{4,k+2}} ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}). Da 4 < 2·2 + 1 + 1 ≤ 2·n(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}))

+n+1 ≤ F_{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α})}(n) und k+2 ≤ n(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}))+2 < 2·n(ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}))+n+1 ≤

F_{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α})}(n), folgt mit (◁) Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{ρ_{1}}(ω^{δ+α}),n}Γ.

Satz 11.12

2. Schnitteliminationssatz: Σ⊢_{ρ+ω^{γ}}^{α,n}Γ, α < ω^{δ_{0}+1}, δ := ω^{δ_{0}}, ρ + ω^{γ}=_{NF} ρ + ω^{γ}. ⇒ Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{γ}(ω^{δ+α}),n}Γ.

Beweis durch Hauptinduktion nach ρ, Nebeninduktion nach α: Fallunterscheidung nach der letzten Regel. Die Fälle (∧∧), (∨∨), (Cut) mit |A| < ρ, und (◁) folgen aus Lemma 11.11 und der Nebeninduktionsvoraussetzung. Es bleibt der Fall (Cut) mit |A| ≥ ρ.

Sei α = α̃ + 1, Σ⊢_{ρ+ω^{γ}}^{_{α},n}Γ, A, Σ⊢_{ρ+ω^{γ}}^{_{α},n}Γ, ¬A mit ρ ≤ |A| < ρ + ω^{γ} und

n(A) ≤ n(α̃). Nach Nebeninduktionsvoraussetzung gilt Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}),n}Γ, A und

Σ⊢_{ρ}^{ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}),n}Γ, ¬A. Mit dem Reduktionslemma 11.9 folgt

Σ⊢_{|A|}^{ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})·2,n}Γ.

Falls |A| = ρ, folgt wie in Satz 11.11 die Behauptung. Falls |A| > ρ, folgt |A| = ρ + ω^{α_{k}} + ⋯ + ω^{α_{0}} mit γ > α_{k} ≥ ⋯ ≥ α_{0}. Nach Hauptinduktionsvoraussetzung folgt mit λ_{0} := ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}), λ_{1} := ϕ_{α_{0}}(ω^{λ_{0}·3}), λ_{i+1} := ϕ_{α_{i}}(ω^{λ_{i}·2}) sukzessiv für i = 1, …, k + 1 Σ⊢_{ρ+ω^{α_{k}} +···+ω^{α_{i}}}^{λ_{i},n}Γ. Sei m := n(α_{0}) ∪ ⋯ ∪ n(α_{k}) ∪ {1}, α_{−1} := 0. Wir zeigen, λ_{k+1} <_{m+2·k+3} ϕ_{γ}(ω^{δ+α}), mit m + 2·k + 3 < F_{ϕ_{γ}(ω^{δ+α})}(n). (Daraus folgt λ_{k+1} ˜<_{n}ϕ_{γ}(ω^{δ+α}). Dann folgt mit Regel ( ˜<) 11.4 aus Σ⊢_{ρ}^{λ_{k+1},n}Γ Σ⊢_{ρ}^{ω^{δ+α},n}Γ, was zu zeigen war.)

Behauptung: ∀^{\}i ≤ k + 1∃I1 ≤ l ≤ 2·i+1(λ_{i}·3 <_{m+2·i+1} ϕ_{α_{i−1}}^{l}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})+1)).

Beweis durch Induktion nach i:

i = 0: λ_{0}·3 = ω^{ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})}·3{10.15 \atop <_{2}}ω^{ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})+1} = ϕ_{α_{−1}}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1).

Induktionsschritt von i auf i + 1: Sei j := 3 falls i = 0, und j := 2, falls i > 0.

λ_{i}·j ≤_{0} λ_{i}·3 <_{m+2·i+1} ϕ_{α_{i−1}}^{l}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1) für ein l ≤ 2·i + 1.

Mit Lemma 10.7(a) folgt ω^{λ_{i}·j} <_{m+2·i+2} ω^{ϕ_{α_{i−1}}^{l}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})+1)} = ϕ_{α_{i−1}}^{l+s}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})+

1), wobei s := 0, falls α_{i−1} > 0, und s := 1, falls α_{i−1} = 0.

Sei μ_{0} := ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}),

μ_{1} := \{ \begin{matrix}ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}} + 1), & falls α_{i} + 1 = γ, \\ ϕ_{α_{i}+1}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1), & falls α_{i} + 1 < γ. \end{matrix}

(Beachte, daß μ_{0} = ϕ_{α_{i}+1}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})), falls α_{i} + 1 < γ.)

Falls α_{i} = α_{i−1}, folgt wegen μ_{0} < ω^{λ_{i}·j} <_{m+2·i+2} ϕ_{α_{i−1}}^{l+s}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1) =

ϕ_{α_{i}}^{l+s}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1) < μ_{1} nach Lemma 10.7(b) λ_{i+1} = ϕ_{α_{i}}(ω^{λ_{i}·j}) <_{m+2·i+3}

ϕ_{α_{i}}^{l+s+1}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1).

Falls α_{i} > α_{i−1}, folgt zunächst α_{i−1} <_{m} α_{i}. Da l + s ≤ 2·i + 2, folgt nach

Lemma 10.17(b) μ_{0} < ω^{λ_{i}·j}{s.o. \atop <_{m+2·i+2}}ϕ_{α_{i−1}}^{l+s}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1) =

ϕ_{α_{i−1}}^{l+s}(ϕ_{α_{i}}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}})) + 1){10.17(b) \atop <_{m+2·i+2}}ϕ_{α_{i}}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1) < μ_{1}. Lemma 10.7 (b)

ergibt dann λ_{i+1} = ϕ_{α_{i}}(ω^{λ_{i}·j}) <_{m+2·i+3} ϕ_{α_{i}}^{2}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1).

Es folgt λ_{k+1} <_{0} λ_{k+1}·3 <_{m+2·k+3} ϕ_{α_{k}}^{l}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1) für ein l ≤ 2·k + 3.

Da α_{k} <_{m} γ, folgt nach Lemma 10.17(b) ϕ_{α_{k}}^{l}(ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}) + 1) <_{max{m+2,2·k+3}}

ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}} + 1).

Sei ϕ_{γ+1}(μ_{0}) ≤ δ + α̃ < ϕ_{γ+1}(μ_{0} + 1). Aus ϕ_{γ+1}(μ_{0}) < ω^{δ+_{α}} + 1 <_{0} ω^{δ+_{α}}·2 <_{1}

ω^{δ+_{α}+1} < ϕ_{γ+1}(μ_{0}+1) folgt nach Lemma 10.7(b) ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}}+1) <_{2} ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}+1}). Also erhalten wir insgesamt λ_{k+1} <_{m+2·k+3} ϕ_{γ}(ω^{δ+_{α}+1}) = ϕ_{γ}(ω^{δ+α}). Es gilt weiter n(ϕ_{γ}(ω^{δ+α})) ≥ n(α) = n(α̃) + 1 ≥ n(A) + 1 = n(ρ + ω^{α_{k}} + ⋯ + ω^{α_{0}}) + 1 ≥ n(ρ) + n(ω^{α_{k}}) + ⋯ + n(ω^{α_{0}}) + 1. Da n(ω^{α_{i}}) ≥ n(α_{i}), n(ω^{α_{i}}) ≥ 2, folgt n(ϕ_{ρ}(ω^{δ+α})) ≥ m + 2·k + 1, also m + 2·k + 3 < 2·m + 4·k + 3 + n ≤ 2·n(ϕ_{γ}(ω^{δ+α})) + n + 1 ≤ F_{n(ϕ_{γ}(ω^{δ+α}))}(n) ≤ F_{ϕ_{γ}(ω^{δ+α})}(n).

Lemma 11.13

Gilt für alle Formeln A mit A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι} oder A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι} ∀^{\}ι ∈ I(|A_{ι}| + 1 ˜≤_{n∪ν(ι)}

|A|). Dann gilt für alle Formeln A Σ⊢_{0}^{|A| ·^{#}2+1,n}Γ, A, ¬A.

Beweis durch transfinite Induktion nach |A|:

O.E. sei A=^{∧} ∧∧_{ι∈I} A_{ι} (denn, falls A=^{∧} ∨∨_{ι∈I} A_{ι}, folgt ¬A=^{∧} ∧∧_{ι∈I} ¬A_{ι} und ¬¬A≡A,

vertausche also A und ¬A.)

Nach Induktionsvoraussetzung gilt ∀^{\}ι ∈ I(Σ⊢_{0}^{|A_{ι}| ·^{#}2+1,n}Γ, A_{ι}, ¬A_{ι}), also abgeschwächt und nach Anwendung eines (∨∨)-Schlusses wegen ν(ι) <

F_{|A_{ι}| ·^{#}2+1}(ν(ι) ∪ n) und n(A_{ι}) ≤ n(|A_{ι}| ·^{#}2 + 1) Σ⊢_{0}^{|A_{ι}| ·^{#}2+2,ν(ι)∪n}Γ, A_{ι}, ¬A. Mit

Regel ( ˜<) 11.4 folgt, da |A_{ι}| ·^{#}2 + 2 ˜≤_{n∪ν(ι)}|A| ·^{#}2,

Σ⊢_{0}^{|A| ·^{#}2,ν(ι)∪n}Γ, A_{ι}, ¬A für alle ι ∈ I also mit einem (∧∧)-Schluß

Σ⊢_{0}^{|A| ·^{#}2+1,n}Γ, A, ¬A, was zu zeigen war.

Interpretation der Peanoarithmetik in (Σ)

In diesem Kapitel wird die Peano-Arithmetik (P A) eingeführt und in (Σ) interpretiert. Damit können in Kapitel 15 Schranken für in (P A) beweisbare Π_{2}^{0}-Sätze gefunden werden.

Definition 12.1 Definition des Systems (P A) der Peano-Arithmetik. Terme sind die Variablen x, y, …, die Konstante 0 sowie St, falls t Term, wobei S die Nachfolgerfunktion (Successor) bezeichnen soll. Dann sei l : ≡S^{l}0. Primformeln seien (f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}) und (f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}), wobei f ein Symbol für eine elementare Funktion sei, und t_{i} Terme sind. Formeln sind Primformeln A (mit |A| := 0) , (A ∧ B), (A ∨ B), (mit |(A ∧ B)| := |(A ∨ B)| := max{|A| + 1, |B| + 1}), ∀xA, ∃xA (mit |∀xA| := |∃xA| := |A| + 1), falls A, B Formeln sind. Die Negation einer Formel sei eine definierte Operation, bezeichnet mit ¬, also ¬(f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}) : ≡(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}), ¬(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}) : ≡(f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}), ¬(A ∧ B) : ≡(¬A ∨ ¬B), ¬(A ∨ B) : ≡(¬A ∧ ¬B), ¬(∀xA) : ≡∃x(¬A) , ¬(∃xA) : ≡∀x(¬A). Die Axiome von (P A) seien :

1) Logische Axiome: P A⊢^{m}Γ, ¬A, A für jede Formel A und jedes m ≥ 2·|A|.

2) Elementare Axiome: Alle Einsetzungen von Termen für x, y, z, … in : (m ∈ IN) (=) P A⊢^{m}Γ, x = x, P A⊢^{m}Γ, x ≠ y, y = x,

P A⊢^{m}Γ, x ≠ y, y ≠ z, x = z. (S) P A⊢^{m}Γ, Sx ≠ 0, P A⊢^{m}Γ, Sx ≠ Sy, x = y,

P A⊢^{m}Γ, x ≠ y, Sx = Sy.

(f) P A⊢^{m}Γ, ” Definitionsgleichung für jede elementare Funktion f“, zum Beispiel (+) P A⊢^{m}Γ, x + 0 = x,

P A⊢^{m}Γ, x + y ≠ z, x + Sy = Sz,

P A⊢^{m}Γ, x ≠ x′, y ≠ y′, z ≠ z′, x + y ≠ z, x′ + y′ = z′, P A⊢^{m}Γ, x + y ≠ z, x + y ≠ z′, z = z′.

3) Induktionsaxiome: P A⊢^{m}Γ, ¬A(0), ∃x(A(x) ∧ ¬A(Sx)), ∀xA(x) für alle Formeln A, m ∈ IN, |A| + 1 ≤ m.

4) Logische Regeln: (∧) P A⊢^{m}Γ, A_{0}, P A⊢^{m}Γ, A_{1} ⇒ P A⊢^{m+1}Γ, (A_{0} ∧ A_{1}). (∨) P A⊢^{m}Γ, A_{i} mit i ∈ {0, 1} und |A_{i}| ≤ m ⇒ P A⊢^{m+1}Γ, (A_{0} ∨ A_{1}). (∀) P A⊢^{m}Γ, A(x) wobei x nicht frei in Γ ⇒ P A⊢^{m+1}Γ, ∀xA(x). (∃) P A⊢^{m}Γ, A(t) mit |A(t)| ≤ m und t = S^{l}0 oder S^{l}x mit l ≤ m

⇒ P A⊢^{m+1}∃xA(x). (Cut) P A⊢^{m}Γ, A, P A⊢^{m}Γ, ¬A mit |A| ≤ m ⇒ P A⊢^{m+1}Γ.

Die Formeln werden im Beweissystem (Σ) standardmäßig interpretiert, d.h.: Ist A wahre Primformel, so gilt A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈∅} A_{ι}, ist A falsche Primformel, so

gilt A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈∅} A_{ι}. Weiter (A_{0} ∧ A_{1})=^{∧} ∧ ∧_{ι∈{0,1})} A_{ι}, (A_{0} ∨ A_{1})=^{∧} ∨ ∨_{ι∈{0,1}} A_{ι}, ∀xA(x)

=^{∧} ∧ ∧_{i∈IN} A(i), ∃xA(x)=^{∧} ∨ ∨_{i∈IN} A(i).

Lemma 12.2 Einbettungslemma für (P A): P A⊢^{m}Γ[a_{0}, …, a_{r}], wobei a_{0}, …, a_{r} alle freien Variablen in Γ sind. Dann gilt Σ⊢_{m}^{ω+m,max{1,m_{1},...,m_{r}}}Γ[m_{1}, …, m_{r}] für alle m_{1}, …, m_{r} ∈ IN.

Beweis: Beweis der Behauptung durch Induktion nach m. Schreibweisen: A^{∗} := A[m_{1}, …, m_{r}], genauso Γ^{∗} := Γ[m_{1}, …, m_{r}].

Weiter sei n := max{1, m_{1}, …, m_{r}}. Fallunterscheidung nach der letzten Regel:

a) Logisches Axiom: Nach Lemma 11.13 gilt, da |A^{∗}| = |A| ∈ IN, Σ⊢_{0}^{2·|A|+1,n}Δ^{∗}, A^{∗}, ¬A^{∗} (∗). Da 2·|A| + 1 <_{k} ω + 2·|A| mit k := 2·|A| + 1 < F_{ω+2·|A|}(n), folgt mit (◁) und Abschwächungslemma 11.3 Σ⊢_{2·|A|}^{ω+2·|A|,n}Δ^{∗}, A^{∗}, ¬A^{∗} und mit (◁) die Behauptung.

b) Elementare Axiome: Sei Γ≡Δ, A_{1}, …, A_{k}. Dann folgt immer ⊧A_{i}^{∗} für ein i, also A_{i}^{∗}=^{∧} ∧∧_{ι∈∅} A_{ι}. Mit

(∧∧) folgt nun Σ⊢_{m}^{ω+m,n}Δ^{∗}, A_{1}^{∗}, …, A_{k}^{∗}.

c) Induktionsaxiom: Sei Γ≡Δ, ¬A(0), ∃x(A(x) ∧ ¬A(Sx)), ∀xA(x). Sei l := |A(0)| = |A^{∗}(0)|, C : ≡∃x(A^{∗}(x) ∧ ¬A^{∗}(Sx)). Zu zeigen ist Σ⊢_{l+1}^{ω+l+1,n}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), C, ∀xA^{∗}(x). (Daraus folgt mit (◁) ∀^{\}m ≥ |A| + 1(Σ⊢_{m}^{ω+m,n}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), C, ∀xA^{∗}(x)). Wir zeigen durch Induktion nach m Σ⊢_{l+1}^{2·l+m+3,n∪m}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), C, A^{∗}(m). (Dann folgt, da 2·l + m + 3 <_{n∪(2·l+m+3)} ω + l und n ∪ (2·l + m + 3) < 2·(l+2)+(n∪m)+1 = 2·n(ω+l)+(n∪m)+1 ≤ F_{n(ω+l)}(n∪m) ≤ F_{ω+l}(n∪m), mit (◁) Σ⊢_{l+1}^{ω+l,n∪m}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), C, ¬A^{∗}(m) und mit (∧∧) dann Σ⊢_{l+1}^{ω+l+1,n}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), C, ∀xA^{∗}(x).)

Für m = 0 folgt die Behauptung aus (∗) in a) mit (◁). Sei m = m′ + 1. Aus a) folgt Σ⊢_{l+1}^{2·l+1,n∪m′}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), A^{∗}(m′), ¬A^{∗}(m′), A^{∗}(Sm′) sowie Σ⊢_{l+1}^{2·l+1,n∪m′}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), ¬A^{∗}(Sm′), ¬A^{∗}(m′), A^{∗}(Sm′), mit (∧∧) dann Σ⊢_{l+1}^{2·l+2,n∪m′}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), (A^{∗}(m′) ∧ ¬A^{∗}(Sm′)), ¬A^{∗}(m′), A^{∗}(Sm′). Mit (◁) folgt nun Σ⊢_{l+1}^{2·l+m′+2,n∪m′}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), (A^{∗}(m′) ∧ ¬A^{∗}(Sm′)), ¬A^{∗}(m′), A^{∗}(Sm′). Da m′ < F_{2·l+m′+2}(n∪m′) und n(A^{∗}(m′)∧¬A^{∗}(Sm′)) = l+1 ≤ n(2·l+m′+2), folgt mit (∨∨) Σ⊢_{l+1}^{2·l+m′+3,n∪m′}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), ∃x(A^{∗}(x) ∧ ¬A^{∗}(Sx)), ¬A^{∗}(m′), A^{∗}(Sm′). Aus der Induktionsvoraussetzung folgt Σ⊢_{l+1}^{2·l+m′+3,n∪m′}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), C, A^{∗}(m′). Ein (Cut) mit Schnittformel A^{∗}(m′) (|A^{∗}(m′)| = l < l + 1 und n(A^{∗}(m′)) = l ≤ n(2·l + m′ + 3)) ergibt Σ⊢_{l+1}^{2·l+m′+4,n∪(m′+1)}Δ^{∗}, ¬A^{∗}(0), C, A^{∗}(Sm′).

d) Falls Γ mit (Cut), (∧), (∨) erschlossen wurde, folgt die Behauptung leicht aus der Induktionsvoraussetzung .

e) Falls die letzte Regel (∃) war, d.h. Γ≡Δ, ∃xA(x) und P A⊢^{m−1}Δ, A(t) mit t≡S^{l}0 oder S^{l}a_{i}, wobei l, |A(0)| ≤ m − 1. Ist t = S^{l}a_{i} so folgt (A(t))^{∗}≡ A(S^{l}m_{i})≡A(l+m_{i}). Sei in diesem Fall k := m_{i}, und im Fall t≡S^{l}0 sei k := 0. Es folgt k ≤ n. Nach Induktionsvoraussetzung gilt Σ⊢_{(m−1)}^{ω+(m−1),n}Δ^{∗}, (A(k + l))^{∗}). Da n((A(k + l))^{∗}) = |A(0)| ≤ m − 1 < n(ω + (m − 1)) und k + l ≤ n + m < F_{n(ω+m−1)}(n) ≤ F_{ω+m−1}(n), folgt mit (∨∨) Σ⊢_{m}^{ω+m,n}Γ^{∗}. f)Falls die letzte Regel (∀) war, d.h. Γ≡Δ, ∀xA(x) und P A⊢^{m−1}Δ, A(a), mit a nicht frei in Δ, folgt nach der Induktionsvoraussetzung Σ⊢_{m−1}^{ω+m−1,n∪l}Δ^{∗}, A^{∗}(l) für alle l ∈ IN. Mit (∧∧) folgt Σ⊢_{m}^{ω+m,n}Δ^{∗}, ∀xA^{∗}(x).

Definition von (DA), (RA^{∗}) und Interpretationen Int^{σ}

In diesem Kapitel wird die Δ_{1}^{1}-Analysis (DA) im Tait-Kalkül und das halbformale System (RA^{∗}), das eine spezieller Fall von (Σ) ist, eingeführt. Weiter wird die Interpretation von Formeln von (DA) in (RA^{∗}) definiert.

Definition 13.1 Definition des Systems (DA) der Δ_{1}^{1} - Analysis: Die primitiven Symbole seien:

1. Abzählbar unendlich viele freie und gebundene Zahl- und Prädikatvariable.

2. 0, S, , Symbole für n-stellige elementare Funktionen.

3. ∧, ∨, ∀, ∃, λ, (, ), ∼, , [Komma], . [Punkt]. (∼ ist dabei ein Negationssymbol). Terme seien 0, freie Zahlvariable, sowie St, falls t Term ist. |S^{l}0| := |S^{l}a| := l (a freie Zahlvariable). Primformeln seien (f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}) und (f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}), falls f Symbol für eine n-stellige elementare Funktion und t_{1}, …, t_{n+1} Terme sind.

Induktive Definition von Formeln und Prädikatoren mit ihrem Rang (|·|).

1) Jede Primformel ist Formel vom Rang |(f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1})| = |(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1})| = max{|t_{1}|, …, |t_{n+1}|}.

2) Für jede freie Prädikatvariable U gilt: U und ∼U sind Prädikatoren vom Rang 0.

13. Definition von (DA), (RA^{∗}) und Interpretationen Int^{σ} 84

3) Ist P Prädikator und t Term, so ist P (t) Formel vom Rang max{|P |, |t|}+ 1.

4) Mit A, B sind auch (A∧B), (A∨B) Formeln vom Rang max{|A|, |B|}+1.

5) Ist F (0) Formel, x gebundene Zahlvariable, die nicht in F (0) vorkommt, so sind ∀xF (x), ∃xF (x) Formeln, sowie λx.F (x) und ∼λx.F (x) Prädikatoren vom Rang |F (0)| + 2.

6) Ist U freie Prädikatvariable, F (U) Formel, die die gebundene Prädikatvariable X nicht enthält, so sind ∀XF (X), ∃XF (X) Formeln vom Rang |F (U)| + 3. Beachte, daß das Symbol ∼ nur in der Form ∼X und ∼U und ∼λx.F (x) in Formeln und Prädikatoren vorkommt.

Die Negation von Formeln und Prädikatoren sei eine definierte Operation, bezeichnet mit dem Symbol ¬: ¬(f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}) : ≡(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}), ¬(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}) : ≡ (f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}), ¬(A ∧ B) : ≡(¬A ∨ ¬B), ¬(A ∨ B) : ≡(¬A ∧ ¬B), ¬(∀xA) : ≡∃x(¬A) , ¬(∃xA) : ≡∀x(¬A), ¬(∀XA) : ≡∃X(¬A), ¬(∃XA) : ≡ ∀X(¬A), ¬U : ≡(∼U), ¬(∼U) : ≡U, ¬(λx.F (x)) : ≡∼λx.F (x), ¬(∼λx.F (x)) : ≡λx.F (x), ¬(P (t)) : ≡(¬P)(t).

Weiter (A → B) : ≡(¬A ∨ B) sowie (A↔B) : ≡((A → B) ∧ (B → A))≡((¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)).

Definition von DA⊢^{m}Γ:

1) Logisches Axiom: DA⊢^{|A|+3}Γ, A, ¬A.

2) Elementare Axiome: alle Einsetzungen von Termen für x, y, z, … in (=) DA⊢^{1}Γ, x = x,

DA⊢^{1}Γ, x ≠ y, y = x,

DA⊢^{1}Γ, x ≠ y, y ≠ z, x = z, (S) DA⊢^{1}Γ, Sx ≠ 0,

DA⊢^{1}Γ, Sx ≠ Sy, x = y, DA⊢^{1}Γ, x ≠ y, Sx = Sy.

(f) DA⊢^{1}Γ, ” Definitionsgleichung für jede elementare Funktion f“, zum Beispiel

(+) DA⊢^{1}Γ, x + 0 = x, DA⊢^{1}Γ, x + y ≠ z, x + Sy = Sz,

DA⊢^{1}Γ, x ≠ x′, y ≠ y′, z ≠ z′, x + y ≠ z, x′ + y′ = z′,
DA⊢^{1}Γ, x + y ≠ z, x + y ≠ z′, z = z′.

3) Schlußregeln: (∧) DA⊢^{n}Γ, A_{0}, DA⊢^{n}Γ, A_{1} ⇒ DA⊢^{n+1}Γ, (A_{0} ∧ A_{1}). (∨) DA⊢^{n}Γ, A_{i} mit i ∈ {0, 1} und n ≥ (|A_{i}| + 1) ⇒ DA⊢^{n+1}Γ, (A_{0} ∨ A_{1}). (∀_{1}) DA⊢^{n}Γ, F (a) wobei a nicht frei in Γ ⇒ DA⊢^{n+1}Γ, ∀xF (x). (∃_{1}) DA⊢^{n}Γ, F (t) mit n ≥ (|F (t)| + 1) ∪ |t| ⇒ DA⊢^{n+1}∃xF (x). (∀_{2}) DA⊢^{n}Γ, F (U) wobei U nicht frei in Γ ⇒ DA⊢^{n+1}Γ, ∀XF (X). (∃_{2}) DA⊢^{n}Γ, F (P) wobei P ein elementarer Prädikator ist, d.h. ein Prä-

dikator ohne gebundene Prädikatvariablen, mit n ≥ (|F (P)| + 1) ∪ |P | ⇒ DA⊢^{n+1}∃XF (X).

(∃_{3}) DA⊢^{n}∀x(∀Y A(x, Y)↔∃Y B(x, Y))

DA⊢^{n}Γ, F (λx.∀Y A(x, Y))

wobei n ≥ (|A(0, U)| + |F (U)|) + 3) ∪ (|B(0, U)| + 3) und A, B keine gebundenen Prädikatvariable enthalten ⇒ DA⊢^{n+3}Γ, ∃XF (X).

(λ_{1}) DA⊢^{n}Γ, F (t) ⇒ DA⊢^{n+1}Γ, λx.F (x)(t). (λ_{2}) DA⊢^{n}Γ, ¬F (t) mit n ≥ (|F (t)| + 1) ∪ |t| ⇒ DA⊢^{n+1}Γ, ∼λx.F (x)(t). (ind) DA⊢^{n}Γ, F (0),

DA⊢^{n}Γ, ¬F (a), F (Sa) wobei a nicht frei in Γ und n ≥ |F (0)| + 1.

⇒ DA⊢^{n+1}Γ, ∀xF (x).

(Cut) DA⊢^{n}Γ, A, DA⊢^{n}Γ, ¬A mit n ≥ |A| ⇒ DA⊢^{n+1}Γ. (<) DA⊢^{n}Γ, m > n ⇒ DA⊢^{m}Γ.

Definition 13.2 Definition des halbformalen Systems (RA^{∗}) der verzweigten Analysis: Die primitiven Symbole seien:

1. Abzählbar unendlich viele freie und gebundene Zahlvariable.

2. Abzählbar unendlich viele freie Prädikatvariable U^{0} der Stufe 0.

3. Abzählbar unendlich viele gebundene Prädikatvariable X^{σ} jeder Stufe σ ≠ 0 (σ Ordinalzahl).

4. 0, S, , Symbole für n-stellige elementare Funktionen.

5. ∧, ∨, ∀, ∃, λ, (, ), ∼, , [Komma] , . [Punkt].

Zahlen sind 0, S0, …, l : ≡S^{l}0, Terme sind Zahlen und a, Sa, SSa, … für freie Variable a, |S^{l}0| := |S^{l}a| := l.

Primformeln sind (f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}) und (f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}), falls t_{i} Terme sind und f Symbol für eine n-stellige elementare Funktion.

Induktive Definition von Quasi-Formeln und Quasi-Prädikatoren mit ihrem Rang (Bezeichnung |A|) und ihrer Stufe:

1. Jede Primformel ist eine Quasi-Formel der Stufe 0 und vom Rang |(f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1})| = |(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1})| = max{|t_{1}|, …, |t_{n+1}|}.

2. Ist U^{0} freie Prädikatvariable, so sind U^{0} und ∼U^{0} Quasi-Prädikatoren der Stufe 0 und des Rangs 0.

3. Ist P^{σ} Quasi-Prädikator der Stufe σ und t Term, so ist P^{σ}(t) Quasi-Formel der Stufe σ und vom Rang (|P^{σ}| ∪ ∪ |t|) + 1.

4. Mit A, B Quasi-Formeln der Stufen α, β sind auch (A ∧ B), (A ∨ B) Quasi-Formeln der Stufe max{α, β} und vom Rang (|A| ∪ ∪ |B|) + 1.

5. Ist F (a) Quasi-Formel der Stufe α, a freie, x gebundene Zahlvariable, die die nicht in F (a) vorkommt, so sind ∀xF (x) und ∃xF (x) Quasi-Formeln, sowie λx.F (x) und ∼λx.F (x) Quasi-Prädikatoren der Stufe α und vom Rang |F (0)|#ω.

6. Ist F (U^{0}) Quasi-Formel der Stufe α, X^{β} gebundene Prädikatvariable der Stufe β, die in F (U^{0}) nicht vorkommt, so sind ∀X^{β}F (X^{β}) und ∃X^{β}F (X^{β}) Quasi-Formeln der Stufe γ = max{α, β} und vom Rang (|F (U^{0})|∪ ∪ω^{3}·β)#ω^{2}. Formeln und Prädikatoren sind Quasiformeln und Quasiprädikatoren ohne freie Zahl- und Prädikatvariablen.

Definition von ¬A für (Quasi-) Formeln und (Quasi-) Prädikatoren A (wobei ggf. auftretende gebundene Variablen x, y, …, X^{α}, Y^{α}, …, die nicht durch einen Quantor oder λ gebunden sind, wie freie Variable behandelt werden sollen): ¬(f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}) : ≡(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}), ¬(f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ t_{n+1}) : ≡(f(t_{1}, …, t_{n}) = t_{n+1}), ¬(A ∧ B) : ≡(¬A ∨ ¬B), ¬(A ∨ B) : ≡(¬A ∧ ¬B), ¬(∀xA) : ≡∃x(¬A) , ¬(∃xA) : ≡∀x(¬A), ¬(∀X^{α}A) : ≡∃X^{α}(¬A), ¬(∃X^{α}A) : ≡ ∀X^{α}(¬A), ¬U^{0} : ≡(∼U^{0}), ¬(∼U^{0}) : ≡U^{0}, ¬(λx.F (x)) : ≡∼λx.F (x), ¬(∼λx.F (x)) : ≡λx.F (x), ¬P^{α}(t) : ≡(¬P^{α})(t).

Weiter (A → B) : ≡(¬A ∨ B) sowie (A↔B) : ≡((A → B) ∧ (B → A))≡((¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)).

Wir ordnen jeder Formel A eine Darstellung A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι} oder A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι} zu:

Falls A Primformel ist, so sei, falls A wahr, A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈∅} A_{ι}, falls dagegen A falsch,

A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈∅} A_{ι}.

Falls A≡λx.F (x)(m), so sei A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈{m}} F (m).

Falls A≡∼λx.F (x)(m), so sei A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈{m}} ¬F (m).

Falls A≡(A_{0} ∧ A_{1}), so sei A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈{0,1}} A_{ι}.

Falls A≡(A_{0} ∨ A_{1}), so sei A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈{0,1}} A_{ι}.

Falls A≡∀xF (x), sei A=^{∧} ∧ ∧_{n∈IN} F (n).

Falls A≡∃xF (x), sei A=^{∧} ∨ ∨_{n∈IN} F (n).

Falls A≡∀X^{σ}F (X^{σ}), sei A=^{∧} ∧ ∧_{P ∈I} F (P), wobei I : ≡{P^{α} | P^{α}Prädikator einer Stufe α < σ, P^{α} ist mit F verträglich, d.h. die gebundenen Variablen von P^{α} sind verschieden von denen von F }.

Falls A≡∃X^{σ}F (X^{σ}), sei A=^{∧} ∨ ∨_{P ∈I} F (P), wobei I : ≡{P^{α} | P^{α}Prädikator einer Stufe α < σ, P^{α} ist mit F verträglich }.

RA^{∗}⊢_{ρ}^{α,n}Γ wird dann gemäß dem Beweiskalkül von Kapitel 11 definiert.

Folgerung 13.3 Ist A (Quasi-)Formel oder (Quasi-)Prädikator von (RA^{∗}) der Stufe σ, dann gilt:

(a) ω^{3}·σ ≤ |A| < ω^{3}·(σ + 1).

(b) A≡¬¬A.

(c) |A| = |¬A|.

(d) A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} A_{ι} ⇒ ¬A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} ¬A_{ι} (falls A Formel).

(e) A=^{∧} ∨ ∨_{ι∈I} A_{ι} ⇒ ¬A=^{∧} ∧ ∧_{ι∈I} ¬A_{ι} (falls A Formel).

Beweis durch Induktion nach dem Formelaufbau: klar.

Lemma 13.4 Sei a⃗≡a_{1}, …, a_{k} freie Zahl-, U⃗≡U_{1}^{0}, …, U_{n}^{0} freie Prädikatvariable, t⃗≡t_{1}, …, t_{k} Terme, P⃗ ≡P_{1}^{α_{1}}, …, P_{n}^{α_{n}} Prädikatoren der Stufen α_{1}, …, α_{n}, die mit der Quasi-Formel oder dem Quasi-Prädikator F (a⃗, U⃗) verträglich sind. Sei m := max{|t_{1}|, …, |t_{k}|, n(P_{1}^{α_{1}}), …, n(P_{n}^{α_{n}})}. Dann gilt:

(a) n(F (a⃗, U⃗)) ≤ n(F (t⃗, P⃗)) ≤ n(F (a⃗, U⃗)) + m.

(b) Ist Stufe(F (a⃗, U⃗)) = σ, α_{1}, …, α_{n} < σ.

Dann folgt |F (a⃗, U⃗)| ≤ |F (t⃗, P⃗)| < |F (a⃗, U⃗)| + ω·(m + 1).

(c) Ist n = 0, so folgt |F (a⃗)| ≤ |F (t⃗)| ≤ |F (a⃗)| + m.

(d) Ist k = 0, n = 1, α_{1} < β. Dann folgt |F (P_{1}^{α_{1}})| ˜<_{n(P_{1}^{α_{1}})∪1}|∀X^{β}F (X^{β})| = |∃X^{β}F (X^{β})|.

(e) Ist k = 1, n = 0. Dann folgt |F (a_{1})| ˜<_{|t_{1}|∪1}|∀xF (x)| = |∃xF (x)| = |(∼)λx.F (x)|.

Beweis:

(a) Wir zeigen nur n(F (t⃗, P⃗)) ≤ n(F (a⃗, U⃗)) + m durch Induktion nach dem Aufbau der Formeln, n(F (a⃗, U⃗)) ≤ n(F (t⃗, P⃗)) folgt dann analog. Zunächst gilt für Terme s(a⃗) |s(a⃗)| ≤ |s(t⃗)| ≤ |s(a⃗)| + m. Falls F (a⃗, U⃗)≡(f(s_{1}(a⃗), …, s_{l}(a⃗)) = s_{l+1}(a⃗)), folgt |s_{i}(t⃗)| ≤ |s_{i}(a⃗)| + m, also n(F (t⃗, P⃗)) = max{|s_{1}(t⃗)|, …, |s_{k}(t⃗)|} ≤ max{|s_{1}(a⃗)| + m, …, |s_{k}(a⃗)| + m} ≤ |F (a⃗, U⃗)| + m. Falls F (U⃗, a⃗)≡U_{i}^{0} oder F unabhängig von a⃗, U⃗, ist die Behauptung klar.

Falls F (a⃗, U⃗)≡(A(a⃗, U⃗) ∧ B(a⃗, U⃗)), folgt n(F (t⃗, P⃗)) {9.9(c) \atop =} max\{n(A(t⃗, P⃗)),

n(B(t⃗, P⃗))} + 1 ≤^{IV} max{n(A(a⃗, U⃗)) + m, n(B(a⃗, U⃗)) + m} + 1 =

max\{n(A(a⃗, U⃗)), n(B(a⃗, U⃗))\} + m + 1 {9.9(c) \atop =}n(F (a⃗, U⃗)) + m.

Falls F (a⃗, U⃗))≡∀xG(x, a⃗, U⃗), λx.G(x, a⃗, U⃗)), folgt n(F (t⃗, P⃗)) = n(G(0, t⃗, P⃗))

+n(ω) ≤^{IV}n(G(0, a⃗, U⃗)) + m + n(ω) = n(F (a⃗, U⃗)) + m.

Falls F (a⃗, U⃗)≡G(a⃗, U⃗)(s(a⃗)), folgt n(F (t⃗, P⃗)) {9.9(c) \atop =} max\{n(G(t⃗, P⃗)), |s(t⃗)|\}+

1≤^{IV} max{n(G(a⃗, U⃗))+m, |s(a⃗)|+m}+1 = max{n(G(a⃗, U⃗)), |s(a⃗)|}+1+m =

n(F (a⃗, U⃗)) + m.

Falls F (a⃗, U⃗)≡∀X^{γ}G(X^{γ}, a⃗, U⃗), folgt n(F (t⃗, P⃗)) {9.9(c) \atop =} max\{n(G(V^{0}, t⃗, P⃗)),

n(ω^{3}·β)} + n(ω^{2})≤^{IV} max{n(G(V^{0}, a⃗, U⃗)) + m, n(ω^{3}·β)} + n(ω^{2}) ≤

max\{n(G(V^{0}, a⃗, U⃗)), n(ω^{3}·β)\} + n(ω^{2}) + m{9.9(c) \atop =} n(F (a⃗, U⃗)) + m.

In allen anderen Fällen folgt die Behauptung aus der Behauptung für ¬F, |F (a⃗, U⃗)| = |¬F (a⃗, U⃗)| und |F (t⃗, P⃗)| = |¬F (t⃗, P⃗)|.

(b) i) Durch Induktion nach dem Aufbau von F folgt sofort wegen (a) und mit Lemma 9.9(f) |F (a⃗, U⃗)| ≤ |F (t⃗, P⃗)|. ii) Nach Folgerung 13.3(a) existiert ein l ∈ IN mit ω^{3}·σ + ω^{2}·l ≤ |F (a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l + 1). Zeige ω^{3}·σ + ω^{2}·l ≤ |F (t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l + 1) durch Induktion nach dem Aufbau der Formeln. Falls F (a⃗, U⃗)≡∀X^{γ}G(X^{γ}, a⃗, U⃗) mit Stufe(G(V^{0}, a⃗, U⃗)) < σ, folgt aus Stufe(F (a⃗, U⃗)) = σ γ = σ, weiter StufeG(V^{0}, t⃗, P⃗)) < σ, also |G(V^{0}, a⃗, U⃗)|, |G(V^{0}, t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ. Nach Definition und Lemma 9.9(a) folgt ω^{3}·σ +ω^{2} ≤ |F (a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ +ω^{2}·2 und ω^{3}·σ +ω^{2} ≤ |F (t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ +ω^{2}·2. Falls F (a⃗, U⃗)≡∀X^{γ}G(X^{γ}, a⃗, U⃗) mit Stufe(G(V^{0}, a⃗, U⃗)) = σ, folgt ω^{3}·σ + ω^{2}·l′ ≤ |G(V^{0}, a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1) für ein l′ ∈ IN, weiter nach Induktionsvoraussetzung ω^{3}·σ +ω^{2}·l′ ≤ |G(V^{0}, t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ +ω^{2}·(l′ +1). Nach Definition und Lemma 9.9(a) folgt ω^{3}·σ+ω^{2}·(l′+1) ≤ |F (a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ+ω^{2}·(l′+2) und ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1) ≤ |F (t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 2). Falls F (a⃗, U⃗)≡(A(a⃗, U⃗)∧B(a⃗, U⃗)) mit Stufe(A(a⃗, U⃗) = Stufe(B(a⃗, U⃗)) = σ, ω^{3}·σ + ω^{2}·r ≤ |A(a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(r + 1) und ω^{3}·σ + ω^{2}·s ≤ |B(a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ +ω^{2}·(s+1), folgt nach Induktionsvoraussetzung ω^{3}·σ +ω^{2}·r ≤ |A(t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(r + 1) und ω^{3}·σ + ω^{2}·s ≤ |B(t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(s + 1). Es folgt mit l′ := max{r, s} ω^{3}·σ + ω^{2}·l′ ≤ |F (a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1) und ω^{3}·σ + ω^{2}·l′ ≤ |F (t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1). Falls F (a⃗, U⃗)≡(A(a⃗, U⃗) ∧ B(a⃗, U⃗)) mit Stufe(A(a⃗, U⃗) < σ oder Stufe(B(a⃗, U⃗)) < σ, sei o.E. Stufe(B(a⃗, U⃗)) < σ, also Stufe(A(a⃗, U⃗)) = σ, ω^{3}·σ + ω^{2}·r ≤ |A(a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(r + 1). Dann folgt nach Induktionsvoraussetzung ω^{3}·σ + ω^{2}·r ≤ |A(t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(r + 1). Weiter gilt |B(a⃗, U⃗)|, |B(t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ. Es folgt ω^{3}·σ + ω^{2}·r ≤ |F (a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(r + 1) und ω^{3}·σ + ω^{2}·r ≤ |F (t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(r + 1). Falls F (a⃗, U⃗)≡∀xG(x, a⃗, U⃗) oder F (a⃗, U⃗)≡λx.G(x, a⃗, U⃗), folgt aus ω^{3}·σ + ω^{2}·l′ ≤ |G(0, a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1) nach Induktionsvoraussetzung ω^{3}·σ + ω^{2}·l′ ≤ |G(0, t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1) und nach Definition ω^{3}·σ + ω^{2}·l′ ≤ |F (a⃗, U⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1) und ω^{3}·σ + ω^{2}·l′ ≤ |F (t⃗, P⃗)| < ω^{3}·σ + ω^{2}·(l′ + 1). Falls F (a⃗, U⃗)≡Q(a⃗, U⃗)(s(a⃗)), folgt die Behauptung wie eben. In allen anderen Fällen folgt die Behauptung aus der Behauptung für ¬F (a⃗, U⃗).

iii) Aus i) und ii) folgt |F (a⃗, U⃗)| ≤ |F (t⃗, P⃗)| < |F (a⃗, U⃗)| + ω^{2}, d.h. ∃Ir, s ∈ IN(|F (t⃗, P⃗)| = |F (a⃗, U⃗)|#ω·r + s). Nach (a) folgt 2·r + s = n(|F (t⃗, P⃗)|) − n(|F (a⃗, U⃗)|) ≤ m, also r ≤ m, d.h. |F (t⃗, P⃗)| < |F (a⃗, U⃗)| + ω·(m + 1).

(c) i) Durch Induktion nach dem Aufbau von F folgt sofort wegen (a) und mit Lemma 9.9(f) |F (a⃗)| ≤ |F (t⃗)|. ii) Sei ω·γ ≤ |F (a⃗)| < ω·(γ + 1). Durch Induktion nach dem Formelaufbau folgt dann ω·γ ≤ |F (t⃗)| < ω·(γ + 1). iii) Aus i) und ii) folgt |F (a⃗)| ≤ |F (t⃗, P⃗)| < |F (a⃗, U⃗)| + ω, d.h. ∃Ir ∈ IN(|F (t⃗)| = |F (a⃗)| + r). Nach (a) folgt r = n(|F (t⃗)|) − n(|F (a⃗)|) ≤ m, d.h. |F (t⃗, P⃗)| ≤ |F (a⃗, U⃗)| + m.

(d) Falls Stufe(F (U_{1}^{0})) < β, folgt Stufe(F (P_{1}^{α_{1}})) < β, also |F (P_{1}^{α_{1}})|{13.3(a) \atop <}

ω^{3}·σ ≤ |∀X^{β}F (X^{β})|. Ansonsten folgt nach (b) |F (P_{1}^{α_{1}})| < |F (U_{1}^{0})| + ω^{2} ≤ |∀X^{β}F (X^{β})|. Es folgt also in jedem Fall |F (P_{1}^{α_{1}})| < |∀X^{β}F (X^{β})|, also |F (P_{1}^{α_{1}})| <_{n(F (P_{1}^{α_{1}}))} |∀X^{β}F (X^{β})|. Nach (a) folgt n(F (P_{1}^{α_{1}})) ≤ n(F (U_{1}^{0})) + n(P_{1}^{α_{1}}) < 2·n(∀X^{β}F (X^{β}))+n(P_{1}^{α_{1}})+1 ≤ F_{|∀X^{β}F (X^{β})|}(n(P_{1}^{α_{1}})), also |F (P_{1}^{α_{1}})| ˜<_{1∪n(P_{1}^{α_{1}})}|∀X^{β}F (X^{β})| = |∃X^{β}F (X^{β})|.

(e) Nach (c) folgt |F (t_{1})| ≤ |F (a_{1})| + |t_{1}| < |∀xF (x))|, nach (a) n(F (t_{1})) ≤ n(F (a_{1})) + |t_{1}| < 2·n(∀xF (x))) + |t_{1}| + 1 ≤ F_{|∀xF (x)|}(|t_{1}|) also |F (t_{1})| ˜<_{1∪|t_{1}|} |∀xF (x)| = |∃xF (x)| = |(∼λx.F (x)|.

Definition 13.5 Sei σ > 0. Definition von (Quasi-)Interpretationen von Formeln von (DA) im halbformalen System (RA^{∗}): Eine Quasi-Interpretation Int^{σ} ist eine Abbildung, die jeder freien Zahlvariablen a entweder eine Zahl Int^{σ}(a) ∈ IN oder a selbst, sowie jeder freien Prädikatvariablen U entweder einen Prädikator von (RA^{∗}) P^{α} = Int^{σ}(U) einer Stufe α < σ oder U^{0} zuordnet. Eine Interpretation ist eine Quasi-Interpretation mit Int^{σ}(a) ≢ a und Int^{σ}(U) ≢ U^{0}. Eine Interpretation ordnet also jeder freien Zahlvariablen a eine Zahl Int^{σ}(a) ∈ IN und jeder freien Prädikatvariablen U einen Prädikator von (RA^{∗}) P^{α} = Int^{σ}(U) einer Stufe α < σ zu.

Sei A eine (DA)-Formel oder ein (DA)-Prädikator. Dann sei A^{Int^{σ}} die (Quasi-)Formel bzw. der (Quasi-)Prädikator, der aus A entsteht, indem jede freie Zahlvariable a durch Int^{σ}(a), jede freie Prädikatvariable U durch Int^{σ}(U) und ∼U durch ¬(Int^{σ}(U)), jede gebundene Prädikatvariable X durch X^{σ} und ∼X durch ∼X^{σ} ersetzt wird. Sind dabei die gebundenen Variablen der Int^{σ}(U) mit U oder ∼U kommt in A vor und Int^{σ}(U) ≢ U^{0} von denen von A verschieden, so heißt Int^{σ} eine (Quasi-)Interpretation für A. Die Interpretation eines Terms t^{Int^{σ}} wird analog definiert. Ist Int^{σ} eine (Quasi-)Interpretation für A. Dann sei m_{A,Int^{σ}} := max({1} ∪ {|Int^{σ}(a)| | a freie Zahlvariable und kommt in A vor}

∪{n(Int^{σ}(U)) | U freie Prädikatvariable, die in A vorkommt }).

Folgerung 13.6

(a) Sei A Formel oder Prädikator von (DA), Int^{σ} Interpretation für A. Dann gilt |A^{Int^{σ}}| ˜<_{m_{A,Int^{σ}} +|A|}ω^{3}·(σ + 1) und n(A^{Int^{σ}}) ≤ n(ω^{3}·σ) + |A| + m_{A,Int^{σ}}.

(b) Enthält A keine gebundenen Prädikatvariablen, so gilt |A^{Int^{σ}}| ˜<_{m_{A,Int^{σ}} +|A|} ω^{3}·σ und n(A^{Int^{σ}}) ≤ |A| + m_{A,Int^{σ}}.

Beweis

(a) Es genügt n(A^{Int^{σ}}) ≤ n(ω^{3}·σ) + |A| + m_{A,Int^{σ}} (∗) zu zeigen, denn nach Folgerung 13.3(a) gilt |A^{Int^{σ}}| < ω^{3}·(σ + 1) also |A^{Int^{σ}}| <_{n(A^{^{Int}^{σ}})} ω^{3}·(σ + 1), und aus (∗) folgt dann n(A^{Int^{σ}}) < n(ω^{3}·(σ + 1)) + |A| + m_{A,Int^{σ}} + 1 ≤ F_{ω^{3}·(σ+1)}(|A| + m_{A,Int^{σ}}). Beweis von (∗): Zunächst gilt ω^{2}[0] = ω^{1}, ω^{1}[0] = 1, 1[0] = 0, also n(ω^{2}) = 3, n(ω) = 2, n(1) = 1. Sei A≡A(U_{1}, …, U_{k}, a_{1}, …, a_{l}), wobei U_{1}, …, U_{k} alle freien Prädikatvariablen, a_{1}, …, a_{l} alle freien Zahlvariablen in A sind. Ã entstehe aus A, indem U_{i} durch U_{i}^{0} und gebunden Prädikatvariablen X durch X^{σ} ersetzt werden. Zeige n(Ã) ≤ |A| + n(ω^{3}·σ) durch Induktion nach dem Aufbau von A. Falls A Primformel, folgt n(Ã) = n(A) = |A|. Falls A≡U_{i}, folgt n(Ã) = 0. Falls A≡(B ∧ C), (B ∨ C), folgt n(Ã) = n(|B̃ ∪ ∪ C̃| + 1) = max{n(B̃), n(C̃)}

+1≤^{IV} max{|B| + n(ω^{3}·σ), |C| + n(ω^{3}·σ)} + 1 = max{|B|, |C|} + 1 + n(ω^{3}·σ) =

|A| + n(ω^{3}·σ).

Falls A≡∀xF (x), ∃xF (x), (∼)λx.F (x), folgt n(Ã) = n(F̃ (0)) + 2≤^{IV}|F (0)| + n(ω^{3}·σ) + 2 = |A| + n(ω^{3}·σ).

Falls A≡P (t), folgt n(Ã) = max{n(P̃), |t|} + 1≤^{IV}{|P | + n(ω^{3}·σ), |t|} + 1 ≤

|A| + n(ω^{3}·σ). Falls A≡∀XF (X), ∃XF (X), folgt n(Ã) = n((|F̃ (U)| ∪ ∪ ω^{3}·σ)#ω^{2}) = max{n(F̃ (U)), n(ω^{3}·σ)} + 3

≤^{IV} max{|F (U)| + n(ω^{3}·σ), n(ω^{3}·σ)} + 3

= (|F (U)| + 3) + n(ω^{3}·σ) = |A| + n(ω^{3}·σ). Mit Lemma 13.4(a) folgt n(A^{Int^{σ}}) ≤ n(Ã)+m_{A,Int^{σ}} ≤ n(ω^{3}·σ)+|A|+m_{A,Int^{σ}}.

(b) Es gilt |A^{Int^{σ}}| < ω^{3}·σ. Sei Ã wie in (a) definiert. Dann folgt durch Induktion nach dem Aufbau von A wie beim Beweis von (a) (∗) n(Ã) ≤ |A|, also wie in (a) n(A^{Int^{σ}}) ≤ |A| + m_{A,Int^{σ}} und wie in (a) A^{Int^{σ}} ˜<_{|A|}ω^{3}·σ.

Interpretation der Beweise von (DA) in (RA^{∗})

In diesem Kapitel wird das System (DA) in (RA^{∗}) interpretiert. Damit ist, zusammen mit der in Kapitel 11 geleisteten Arbeit, der Weg frei, um Schranken für in (DA) beweisbare Π_{2}^{0}-Sätze zu finden.

Lemma 14.1 Sei A (DA)-Formel, Γ (RA^{∗})-Formelmenge, Int^{σ} Interpretation für A. Dann gilt

RA^{∗}⊢_{0}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}3+1,|A|+m_{A,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}, A^{Int^{σ}}, ¬A^{Int^{σ}}.

Beweis:

Nach Lemma 11.13 gilt RA^{∗}⊢_{0}^{(|A^{^{Int}^{σ}} | ·^{#}2)+1,1}Γ^{Int^{σ}}, A^{Int^{σ}}, ¬A^{Int^{σ}}.

Wegen |A^{Int^{σ}}| < ω^{3}·(σ + 1) und σ > 0 folgt (|A^{Int^{σ}}| ·^{#}2) + 1 < (ω^{3}·σ) ·^{#}3 und

n((|A^{Int^{σ}}| ·^{#}2) + 1){13.6(a) \atop ≤}2·n(ω^{3}·σ) + 2·|A| + 2·m_{A,Int^{σ}} + 1 < 2·n((ω^{3}·σ) ·^{#}3) +

2·|A| + 2·m_{A,Int^{σ}} + 1 ≤ F_{(ω^{3}·σ) ·^{#}3}(2·|A| + 2·m_{A,Int^{σ}}), also |A^{Int^{σ}}| ·^{#}2 + 1

˜<_{2·|A|+2·m_{A,Int^{σ}}} (ω^{3}·σ) ·^{#}3. Weiter 2·(|A| + m_{A,Int^{σ}}) <

F_{((ω^{3}·σ) ·^{#}3)+1}(|A| + m_{A,Int^{σ}}), (ω^{3}·σ) ·^{#}3 <_{0} ((ω^{3}·σ) ·^{#}3) + 1. Zweimalige Anwen-

dung von Regel( ˜<) 11.4 ergibt

RA^{∗}⊢_{0}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}3+1,|A|+m_{A,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}, A^{Int^{σ}}, ¬A^{Int^{σ}}.

14. Interpretation der Beweise von (DA) in (RA^{∗}) 94

Lemma 14.2 Sei 0 < σ_{1} ≤ σ_{2}, ∀XG(X) (DA)-Formel, G(U) ohne gebundene Prädikatvariable, Int^{σ_{2}} eine Interpretation für G(U^{0}), außer für U^{0} selbst. Dann folgt

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+ω+|G(U)|+1,m_{G,Int^{σ_{2}}}}
¬∀X^{σ_{2}}G^{Int^{σ_{2}}}(X^{σ_{2}}), ∀X^{σ_{1}}G^{Int^{σ_{2}}}(X^{σ_{1}}).

Beweis: Nach Lemma 14.1 gilt

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+1,|G(U)|+(m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α}))}¬G^{Int^{σ_{2}}}(P^{α}), G^{Int^{σ_{2}}}(P^{α})

für alle mit G verträglichen Prädikatoren P^{α} einer Stufe α < σ_{1}. Mit Regel ( ˜<) (11.4) folgt, da |G(U)| + (m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪ n(P^{α})) ≥ 1,

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+|G(U)|+(m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α})),m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α})}
¬G^{Int^{σ_{2}}}(P^{α}), G^{Int^{σ_{2}}}(P^{α}).

Da nach Lemma 13.6(a) n(¬G^{Int^{σ_{2}}}(P^{α})) ≤ n(ω^{3}·σ_{2}) + |G(U)| + (m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪

n(P^{α})) ≤ n(((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3) + |G(U)| + (m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪ n(P^{α}))) und n(P^{α}) <

F_{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+|G(U)|+(m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α}))z}(n(P^{α}) ∪ m_{G,Int^{σ_{2}}}), folgt mit (∨∨)

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+|G(U)|)+(m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α}))+1,m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α})}

\underbrace{∃X^{σ_{2}}¬G^{Int^{σ_{2}}}(X^{σ_{2}})}_{≡¬∀X^{σ_{2}}G^{^{Int}^{σ_{2}}} (X^{σ_{2}})}, G^{Int^{σ_{2}}}(P^{α}).

Da (m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪ n(P^{α})) + 1 ˜<_{m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α})}ω, folgt mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+ω+|G(U)|,m_{G,Int^{σ_{2}}} ∪n(P^{α})}
¬∀X^{σ_{2}}G^{Int^{σ_{2}}}(X^{σ_{2}}), G^{Int^{σ_{2}}}(P^{α}).

Mit (∧∧) folgt

RA^{∗}⊢_{0}^{(ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+ω+|G(U)|+1,m_{G,Int^{σ_{2}}}}
¬∀X^{σ_{2}}G^{Int^{σ_{2}}}(X^{σ_{2}}), ∀X^{σ_{1}}G^{Int^{σ_{2}}}(X^{σ_{1}}).

Lemma 14.3 Seien F (λx.A_{i}(x)), A_{i}(0) (RA^{∗})-Formeln, ρ := |F (λx.A_{1}(x))| ∪ ∪ |F (λx.A_{2}(x)|.

Dann gilt RA^{∗}⊢_{0}^{(ρ ·^{#}2)+1,1}¬(∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬F (λx.A_{1}(x)), F (λx.A_{2}(x)).

Beweis durch Induktion nach dem Aufbau von F. F_{i} := F (λx.A_{i}(x)).

1. Falls F (U^{0}) = U^{0}(m), folgt nach Lemma 11.13

RA^{∗}⊢_{0}^{(|A_{1}(m)| ·^{#}2)+1,1}A_{1}(m), ¬A_{1}(m), mit (∨∨) also, da

n(¬A_{1}(m)) ≤ n(|A_{1}(m)| ·^{#}2) + 1) und m < F_{(|A_{1}(m)| ·^{#}2)+1}(m) ,

RA^{∗}⊢_{0}^{(|A_{1}(m)| ·^{#}2)+2,m}A_{1}(m), \underbrace{(∼λx.A_{1}(x))(m)}_{≡¬F_{1}}. Weiter folgt aus

RA^{∗}⊢_{0}^{(|A_{2}(m)| ·^{#}2)+1,1}A_{2}(m), ¬A_{2}(m), mit (∧∧)

RA^{∗}⊢_{0}^{(|A_{2}(m)| ·^{#}2)+2,m}¬A_{2}(m), \underbrace{(λx.A_{2}(x))(m)}_{≡F_{2}}.

Mit einer Anwendung der ( ˜<) Regel 11.4 und einem (∧∧)-Schluß folgt dann

RA^{∗}⊢_{0}^{(|A_{1}(m)|∪ ∪|A_{2}(m)|) ·^{#}2)+3,m}(A_{1}(m) ∧ ¬A_{2}(m)), ¬F_{1}, F_{2}.

Da n(A_{1}(m) ∧ ¬A_{2}(m)) < n(((|A_{1}(m)| ∪ ∪ |A_{2}(m)|) ·^{#}2) + 3), folgt mit (∨∨)

RA^{∗}⊢_{0}^{((|A_{1}(m)|∪ ∪|A_{2}(m)|) ·^{#}2)+4,m} \underbrace{((A_{1}(m) ∧ ¬A_{2}(m)) ∨ (A_{2}(m) ∧ ¬A_{1}(m)))}_{≡¬(A_{1}(m)↔A_{2}(m))},

¬F_{1}, F_{2}.

Da n(¬(A_{1}(m)↔A_{2}(m)) = n((|A_{1}(m)| ∪ ∪ |A_{2}(m)|) + 2) < n(((|A_{1}(m)| ∪ ∪ |A_{2}(m)|) ·^{#}2) + 4), folgt mit (∨∨)

RA^{∗}⊢_{0}^{((|A_{1}(m)|∪ ∪|A_{2}(m)|) ·^{#}2)+5,m}∃x(¬(A_{1}(x)↔A_{2}(x))), ¬F_{1}, F_{2}.

Nun gilt |F_{i}| = |λx.A_{i}(x)(m)| = ((|A_{i}(0)|#ω)∪ ∪m)+1, |A_{i}(m)| = |A_{i}(0)|+k_{i} für ein k_{i} ≤ m, also ((|A_{1}(m)| ∪ ∪ |A_{2}(m)|) ·^{#}2) + 5 ˜<_{1}((|A_{1}(0)| ∪ ∪ |A_{2}(0)|) ·^{#}2) +

2·m + 5 ˜<_{m}^{m+3_{<}_{m}ω} ((|A_{1}(0)| ∪ ∪ |A_{2}(0)|)#ω) ·^{#}2) <_{m} ((((|A_{1}(0)|#ω) ∪ ∪ (|A_{2}(0)|#ω)

∪ ∪m) + 1) ·^{#}2) + 1 = (ρ ·^{#}2) + 1, mit m < F_{(ρ ·^{#}2)+1}(1). (m + 3 ˜<_{m}ω, da m + 3 <

2·n(ω) + m + 1 ≤ F_{ω}(m).) Mit zweimaliger Anwendung von Regel ( ˜<)11.4 und einmaliger Anwendung von (◁) folgt die Behauptung.

2. Falls F unabhängig von U^{0}, folgt nach Lemma 11.13

RA^{∗}⊢_{0}^{(ρ ·^{#}2)+1,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬F_{1}, \underbrace{F_{1}}_{≡F_{2}}.

3. Falls F ≡F^{1} ∨ F^{2}, folgt nach Induktionsvoraussetzung

RA^{∗}⊢_{0}^{((|F_{1}^{i}|∪ ∪|F_{2}^{i}|) ·^{#}2)+1,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬F_{1}^{i}, F_{2}^{i},

mit (∨∨) also

RA^{∗}⊢_{0}^{\overbrace{(|F_{1}^{1}| ∪ ∪ |F_{2}^{1}| ∪ ∪ |F_{1}^{2}| ∪ ∪ |F_{2}^{2}|) + 1)}^{=|F_{1}|∪^{∪}|F_{2}|} ·^{#}2,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)),

, ¬F_{1}^{i}, (F_{2}^{1} ∨ F_{2}^{2}), mit (∧∧)

RA^{∗}⊢_{0}^{((|F_{1}|∪ ∪|F_{2}|) ·^{#}2)+1,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), \underbrace{(¬F_{1}^{1} ∧ ¬F_{1}^{2})}_{≡¬F_{1}},

\underbrace{(F_{2}^{1} ∨ F_{2}^{2})}_{≡F_{2}}.

4. Falls F ≡F^{1} ∧ F^{2}, folgt die Behauptung aus 3. mit A_{1} und A_{2} vertauscht. (Denn mit RA^{∗}⊢_{0}^{α,n}∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬F_{1}, F_{2} wird gleichzeitig auch RA^{∗}⊢_{0}^{α,n}∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)), ¬F_{1}, F_{2} bewiesen.)

5. Falls F (U^{0})≡∀xG(x, U^{0}), G(n, i) : ≡G(n, λxA_{i}(x)), folgt nach Induktionsvoraussetzung

RA^{∗}⊢_{0}^{((|G(n,1)|∪ ∪|G(n,2)|) ·^{#}2)+1,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬G(n, 1), G(n, 2).

Da n < F_{((|G(n,1)|∪ ∪|G(n,2)|) ·^{#}2)+1}(n) und

n(¬G(n, 1)) ≤ n(((|G(n, 1)| ∪ ∪ |G(n, 2)|) ·^{#}2) + 1), folgt mit (∨∨)

RA^{∗}⊢_{0}^{((|G(n,1)|∪ ∪|G(n,2)|) ·^{#}2)+2,n∪1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ∃x¬(G(x, 1), G(n, 2).

((|G(n, 1)| ∪ ∪ |G(n, 2)|) ·^{#}2) + 2 ˜≤_{1}((|G(0, 1)| ∪ ∪ |G(0, 2)|) ·^{#}2) + 2 + 2·n ˜<_{n}

((|G(0, 1)| ∪ ∪ |G(0, 2)|)#ω) ·^{#}2{9.9(g) \atop =}((|G(0, 1)|#ω) ∪ ∪ (|G(0, 2)|#ω)) ·^{#}2 = ρ ·^{#}2.

Also folgt mit ( ˜<) RA^{∗}⊢_{0}^{ρ ·^{#}2,n∪1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬F_{1}, G(n, 2). Mit einem (∧∧)- Schluß folgt die Behauptung.

6. Falls F (U^{0})≡∃xG(x, U^{0}), folgt die Behauptung aus 5. mit A_{1} und A_{2} vertauscht.

7. Falls F (U^{0})≡∀X^{β}G(X^{β}, U^{0}), G(P^{γ}, i) : ≡G(P^{γ}, λxA_{i}(x)), folgt nach Induktionsvoraussetzung

RA^{∗}⊢_{0}^{((|G(P^{γ},1)|∪ ∪|G(P^{γ},2)|) ·^{#}2)+1,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬G(P^{γ}, 1),

G(P^{γ}, 2). Mit (∨∨) folgt

RA^{∗}⊢_{0}^{((|G(P^{γ},1)|∪ ∪|G(P^{γ},2)|) ·^{#}2)+1,n(P^{γ})∪1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬∀X^{β}G(X^{β}, 1),

G(P^{γ}, 2). Da |G(P^{γ}, i)|+1 < |∀X^{β}G(X^{β}, i)|, n(|G(P^{γ}, i)|+1) ≤ n(G(U^{0}, i))+n(P^{γ})+ 1 < 2·n(∀X^{β}G(X^{β}, i)) + (n(P^{γ}) ∪ 1) + 1 ≤ F_{|∀X^{β}G(X^{β},i)|}(n(P^{γ}) ∪ 1), folgt mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{0}^{(|∀X^{β}G(X^{β},1)|∪ ∪|∀X^{β}G(X^{β},2)|) ·^{#}2,n(P^{γ})∪1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)),

¬∀X^{β}G(X^{β}, 1), G(P^{γ}, 2). Eine Anwendung der (∧∧)-Regel ergibt die Behauptung.

8. Falls F (U^{0})≡∃X^{β}G(X^{β}, U^{0}), folgt die Behauptung aus 7. mit A_{1} und A_{2} vertauscht.

9. Falls F (U^{0})≡λx.G(x, U^{0})(n), G(n, i) : ≡G(n, λxA_{i}(x)), folgt nach Induktionsvoraussetzung

RA^{∗}⊢_{0}^{((|G(n,1)|∪ ∪|G(n,2)|) ·^{#}2)+1,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ¬G(n, 1), G(n, 2).

Mit einem (∨∨)-Schluß folgt

RA^{∗}⊢_{0}^{((|G(n,1)|∪ ∪|G(n,2)|) ·^{#}2)+2,n∪1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ∼λx.G(x, 1)(n),

G(n, 2).

und mit (∧∧) dann

RA^{∗}⊢_{0}^{((|G(n,1)|∪ ∪|G(n,2)|) ·^{#}2)+3,1}¬∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)), ∼λx.G(x, 1)(n),

λx.G(n, 2)(n).

Da ((|G(n, 1)| ∪ ∪ |G(n, 2)|) ·^{#}2) + 3 ˜<_{1}

((|G(0, 1)| ∪ ∪ |G(0, 2)|) ·^{#}2) + 2·n + 3 ˜<_{1}((((|G(0, 1)| ∪ ∪ n) ∪ ∪ (|G(0, 2)| ∪ ∪ n))#ω +

1) ·^{#}2) + 1{9.9(g) \atop =}((((|G(0, 1)|#ω) ∪ ∪ n) + 1) ∪ ∪ (((|G(0, 2)|#ω) ∪ ∪ n) + 1)) ·^{#}2 + 1 =

((|F_{1}| ∪ ∪ |F_{2}|) ·^{#}2) + 1, folgt mit ( ˜<) die Behauptung.

Lemma 14.4 Seien F (U^{0}), ∀XA(a, X), F (λx.∀XA(x, X)) (DA)-Formeln, 0 < σ_{1} < σ_{2}, Int^{σ_{1}}, Int^{σ_{2}} Quasi-Interpretationen für F und A, die gleiche Variable gleich interpretieren, also nur gebundene Prädikatvariable unterschiedlich behandeln, sowie U durch U^{0} interpretieren. Sei A_{i}(m) : ≡∀X^{σ_{i}}A^{Int^{σ_{i}}}(m, X^{σ_{i}}). Dann gilt

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1})+|A(0,U)|+|F (U)|+1,m_{A,Int^{σ_{2}}} ∪m_{F (U),Int^{σ_{2}}}}
¬∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)), ¬F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{2}(x)), F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{1}(x)).

Beweis: Sei m := m_{A,Int^{σ_{2}}} ∪ m_{F (U),Int^{σ_{2}}}. Nach Lemma 14.3 gilt

RA^{∗}⊢_{0}^{(ρ ·^{#}2)+1,1}¬∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)), ¬F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{2}(x)), F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{1}(x))

mit ρ := |F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{1}(x)| ∪ ∪ |F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{2}(x))|. Nun gilt (ρ ·^{#}2) + 1 < ((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1}) und

n((ρ ·^{#}2) + 1) = 2· max{n(F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{1}(x)), n(F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{2}(x))} + 1

≤ 2· max{n(ω^{3}·σ_{2})+|F (U)|+(m_{F (U),Int^{σ_{2}}} ∪n(λx.A_{1}(x)), n(ω^{3}·σ_{2})+|F (U)|+ (m_{F (U),Int^{σ_{2}}} ∪ n(λx.A_{2}(x))} + 1 ≤ 2· max{n(ω^{3}·σ_{2}) + |F (U)| + (m_{F (U),Int^{σ_{2}}} ∪ (n(ω^{3}·σ_{1}) + |λx.∀XA(x, X)|

+m_{A,Int^{σ_{1}}})),

n(ω^{3}·σ_{2}) + |F (U)| + (m_{F (U),Int^{σ_{2}}} ∪ (n(ω^{3}·σ_{2}) + |λx.∀XA(x, X)|
+m_{A,Int^{σ_{2}}}))} + 1

≤^{m_{A,Int^{σ_{1}}} =m_{A,Int^{σ_{2}}}} 4·(n(ω^{3}·σ_{1}) + n(ω^{3}·σ_{2})) + 2·m + 2·|λx.∀XA(x, X)| + 2·|F (U)|

+1 = 4·(n(ω^{3}·σ_{1}) + n(ω^{3}·σ_{2})) + 2·m + 2·|A(0, U)| + 2·|F (U)| + 11

< 2·(n(((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1})) + 2·(n(ω^{3}·σ_{1}) + n(ω^{3}·σ_{2}) + m + |A(0, U)| +

|F (U)| + 5) + 1

≤ F_{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1})}(2·(n(ω^{3}·σ_{1}) + n(ω^{3}·σ_{2}) + m + |A(0, U)| + |F (U)| + 5)).

Weiter gilt für beliebige α, m α <_{2·m} α + 1 mit 2·m < F_{α+1}(m). Also folgt

(ρ ·^{#}2) + 1 ˜<_{n(ω^{3}·σ_{1})+n(ω^{3}·σ_{2})+m+|A(0,U)|+|F (U)|+5}((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1}).

Mit ( ˜<) folgt also

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1}),n(ω^{3}·σ_{1})+n(ω^{3}·σ_{2})+m+|A(0,U)|+|F (U)|+5}
¬∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)), ¬F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{2}(x)), F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{1}(x)).

Noch eine Anwendung von ( ˜<) ergibt

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1})+|A(0,U)|+|F (U)|+1,m}
¬∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)), ¬F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{2}(x)), F^{Int^{σ_{2}}}(λx.A_{1}(x)).

Lemma 14.5 Sind ∀Y A(a, Y) und ∃Y B(a, Y) Formeln in (DA), 0 < σ_{1} < σ_{2}. Seien Int^{σ_{1}}, Int^{σ_{2}} Quasi-Interpretationen für ∀Y A(a, Y) und ∃Y B(a, Y) bis auf die Variablen a, U^{0}. Sei m ≥ m_{A(0,U^{0}),Int^{σ_{1}}}, m_{A(0,U^{0}),Int^{σ_{2}}}, m_{B(0,U^{0}),Int^{σ_{1}}}, m_{B(0,U^{0}),Int^{σ_{2}}}, , n ≥ |A(0, U)| + 3, |B(0, U)| + 3, ω^{3}·σ_{1} <_{m+1} ω^{3}·σ_{2}, ρ ≥ ω^{3}·(σ_{2} + 1). Gelte

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ_{i}) ·^{#}n,m}
∀x(∀Y^{σ_{i}}A^{Int^{σ_{i}}}(x, Y^{σ_{i}})↔∃Y^{σ_{i}}B^{Int^{σ_{i}}}(x, Y^{σ_{i}})) (i = 1, 2).

Dann folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+ω+4,m}
∀x(∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ_{1}}}(x, Y^{σ_{1}})↔∀Y^{σ_{2}}A^{Int^{σ_{2}}}(x, Y^{σ_{2}})).

Beweis: Sei A_{i}(n) : ≡∀Y^{σ_{i}}A^{Int^{σ_{i}}}(n, Y^{σ_{i}}) und B_{i}(n) : ≡ ∃Y^{σ_{i}}B^{Int^{σ_{i}}}(n, Y^{σ_{i}}). Aus

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ_{i}) ·^{#}n,m}∀x(A_{i}(x)↔B_{i}(x)) erhalten wir mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})),m}∀x(A_{i}(x)↔B_{i}(x)), mit (∧∧)-Inversion 11.7

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}),m∪k}(A_{i}(k)↔B_{i}(k)), noch einmal mit 11.7

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}),m∪k}(¬A_{i}(k) ∨ B_{i}(k)) sowie

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}),m∪k}(¬B_{i}(k) ∨ A_{i}(k)),

und mit (∨∨)-Inversion 11.8 folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}),m∪k}¬A_{i}(k), B_{i}(k) und (1.i)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}),m∪k}¬B_{i}(k), A_{i}(k). (2.i)

Nach Lemma 14.2 gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+ω+|A(0,U)|+1,m_{A(0,U),Int^{σ_{2}}} ∪k}¬A_{2}(k), A_{1}(k) also mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}),m∪k}¬A_{2}(k), A_{1}(k). (3)

Weiter folgt aus Lemma 14.2

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}3)+ω+|B(0,U)|+1,m_{B(0,U),Int^{σ_{2}}} ∪k}¬B_{1}(k), B_{2}(k), mit ( ˜<) also

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}),m∪k}¬B_{1}(k), B_{2}(k). (4)

Weiter gilt n((¬)A_{i}(k)) ≤ n(ω^{3}·σ_{i}) + |(¬)∀Y A(0, Y)| + (m_{A,Int^{σ_{i}}} ∪ k)

≤ n(((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1}) + (m ∪ k)), genauso n((¬)B_{i}(k)) ≤ n((((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)

#(ω^{3}·σ_{1})+(m∪k)). Weiter gilt |A_{i}(k)|, |B_{i}(k)| < ω^{3}·(σ_{2} +1) ≤ ρ. Ein (Cut) von (1.1) mit (4) ergibt deshalb

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+(m∪k)+1,m∪k}¬A_{1}(k), B_{2}(k),mit einem weiteren (Cut)

mit (2.2) folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+(m∪k)+2,m∪k}¬A_{1}(k), A_{2}(k).

Aus (3) folgt mit ( ˜<) direkt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+(m∪k)+2,m∪k}¬A_{2}(k), A_{1}(k).

Zweimalige Anwendung der (∨∨)-Regel ergibt (Bedingungen sind erfüllt)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+(m∪k)+4,m∪k}(¬A_{1}(k) ∨ A_{2}(k)) sowie

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+(m∪k)+4,m∪k}(¬A_{2}(k) ∨ A_{1}(k)). Ein (∧∧)-Schluß ergibt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+(m∪k)+5,m∪k}(A_{1}(k)↔A_{2}(k)). Mit ( ˜<) folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+ω+3,(m∪k)}(A_{1}(k)↔A_{2}(k)). Mit (∧∧) folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ_{2}) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+ω+4,m}∀x(A_{1}(x)↔A_{2}(x)).

Satz 14.6 Gelte DA⊢^{m}Γ mit σ = ω^{m}·γ, 1 ≤ γ < ω^{ω}, und sei Int^{σ} eine Interpretation

für Γ. Dann folgt RA^{∗}⊢_{ω^{3}·(σ+1)}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}.

Beweis: durch Induktion nach m: Sei ρ := ω^{3}·(σ + 1). Fallunterscheidung nach der letzten Regel:

1. Fall: Logisches Axiom: Sei Γ≡Δ, A, ¬A, m = |A| + 3. Nach Lemma 14.1 folgt

RA^{∗}⊢_{0}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}3+1,m_{Γ,Int^{σ}} +|A|}Γ^{Int^{σ}}, A^{Int^{σ}}, ¬A^{Int^{σ}}. Mit ( ˜<) folgt

RA^{∗}⊢_{0}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}, A^{Int^{σ}}, ¬A^{Int^{σ}}.

2. Fall: Arithmetisches Axiom: Nach Einsetzung ist eine der Formeln wahre Primformel und die Behauptung folgt mit einem (∧∧)-Schluß.

3. Fall: (∧)-Regel: Sei Γ≡Δ, (A_{1} ∧ A_{2}) und m = n + 1, DA⊢^{n}Δ, A_{1} DA⊢^{n}Δ, A_{2}. Nach Induktionsvoraussetzung folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, A_{1}^{Int^{σ}} und

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, A_{2}^{Int^{σ}}.

Mit einem (∧∧)-Schluß folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+1,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (A_{1}^{Int^{σ}} ∧ A_{2}^{Int^{σ}}), und mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (A_{1}^{Int^{σ}} ∧ A_{2}^{Int^{σ}}).

4. Fall: (∨)-Regel: Sei Γ≡Δ, (A_{1} ∨ A_{2}) und m = n + 1, n ≥ (|A_{i}| + 1), DA⊢^{n}Δ, A_{i} für ein i ∈ {1, 2}. Nach Induktionsvoraussetzungund ( ˜<) folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}} ,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, A_{i}^{Int^{σ}}.

Da n(A_{i}^{Int^{σ}}) ≤ n(ω^{3}·σ) + |A_{i}| + m_{A,Int^{σ}} ≤ n(((ω^{3}·σ) ·^{#}n) + m_{Γ,Int^{σ}}), folgt mit

einem (∨∨)-Schluß

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}} +1,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (A_{1}^{Int^{σ}} ∨ A_{2}^{Int^{σ}}).

Mit ( ˜<) folgt RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (A_{1}^{Int^{σ}} ∨ A_{2}^{Int^{σ}}).

5. Fall: (∀_{1})-Regel: Gelte Γ≡Δ, ∀xF (x) und DA⊢^{n}Δ, F (a), wobei a nicht frei in Δ und m = n+1. Dann folgt nach Induktionsvoraussetzung für alle r ∈ IN

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}} ∪r}Δ^{Int^{σ}}, (F (r))^{Int^{σ}},mit (∧∧) und ( ˜<) also

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (∀xF (x))^{Int^{σ}}.

6. Fall: (∃_{1})-Regel: Gelte Γ≡Δ, ∃xF (x) mit m = n + 1, n ≥ (|F (t)| + 1) ∪ |t| und DA⊢^{n}Δ, F (t). Wir nehmen an, daß Int^{σ} Zahlvariablen, die nicht in Δ aber in t vorkommen, durch 0 interpretiert. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(t^{Int^{σ}}). Mit ( ˜<) folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}} ,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(t^{Int^{σ}}). Da n(t^{Int^{σ}}) ≤ |t| + m_{Γ,Int^{σ}} <

F_{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}}} (m_{Γ,Int^{σ}}) und n(F^{Int^{σ}}(t^{Int^{σ}})) ≤ n(ω^{3}·σ)+|F (t)|+m_{Γ,Int^{σ}} ≤

n(((ω^{3}·σ) ·^{#}n) + m_{Γ,Int^{σ}}) folgt mit (∨∨)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}} +1,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (∃xF (x))^{Int^{σ}},

und, da m_{Γ,Int^{σ}} + 1 ˜<_{m_{Γ,Int^{σ}}} ω^{3}·σ, mit ( ˜<)11.4

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (∃xF (x))^{Int^{σ}}.

7. Fall (∀_{2})-Regel: Gelte Γ≡Δ, ∀XF (X), weiter U kommt nicht in Δ vor, m = n + 1 und DA⊢^{n}Δ, F (U). Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}} ∪n(P^{α})}Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(P^{α})

für alle mit F verträglichen Prädikatoren P^{α} einer Stufe α < σ. Mit einem

(∧∧)- Schluß und ( ˜<) folgt RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, ∀X^{σ}F^{Int^{σ}}(X^{σ}).

8. Fall (∃_{2})-Regel: Gelte Γ≡Δ, ∃XF (X), mit m = n + 1, n ≥ (|F (P)| + 1) ∪ |P |, P Prädikator ohne gebundene Prädikatvariable, DA⊢^{n}Δ, F (P). Int^{σ} möge freie Prädikatvariabel, die in P aber nicht in Γ vorkommen, durch λx.x = x ( mit n(λx.x = x) = 2), freie Zahlvariable in P aber nicht in Γ mit 0 interpretieren, also folgt m_{F (P),Int^{σ}} ≤ m_{Γ,Int^{σ}} ∪ 2.

Nach Induktionsvoraussetzung gilt RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}} ∪2}Δ^{Int^{σ}}, (F (P))^{Int^{σ}}, und mit ( ˜<) folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+(m_{Γ,Int^{σ}} ∪2),m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (F (P))^{Int^{σ}}.

P enthält keine gebundenen Prädikatvariable, also ist P^{Int^{σ}} Prädikator einer Stufe α < σ und es gilt nach Lemma 13.6(b) n(P^{Int^{σ}}) ≤ |P | + (m_{Γ,Int^{σ}} ∪

2) < F_{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}}} (m_{Γ,Int^{σ}}), sowie n((F (P))^{Int^{σ}}) ≤ n(ω^{3}·σ) + |F (P)| +

(m_{Γ,Int^{σ}} ∪ 2) ≤ n(((ω^{3}·σ) ·^{#}n) + m_{Γ,Int^{σ}}.

Da (F (P))^{Int^{σ}} = F^{Int^{σ}}(P^{Int^{σ}}), folgt mit (∨∨)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+(m_{Γ,Int^{σ}} ∪2)+1,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, ∃X^{σ}F^{Int^{σ}}(X^{σ}).

Da (m_{Γ,Int^{σ}} ∪ 2) + 1 ˜<_{m_{Γ,Int^{σ}}} ω^{3}·σ, folgt mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}.

9. Fall: (∃_{3})-Regel: Sei Γ≡Δ, ∃XF (X), m = n+3, n ≥ (|A(0, U)|+|F (U)|+3)∪(|B(O, U)|+3). Gelte DA⊢^{n}F (λx.∀Y A(x, Y)) und DA⊢^{n}∀x(∀Y A(x, Y)↔∃Y B(x, Y)). Falls in A, B Variable vorkommen, die nicht in Γ vorkommen, seien diese in Int^{σ} mit λx.x = x bzw. 0 belegt. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}} ∪2}Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(λx.(∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ}))) (1)

und

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}} ∪2}∀x(∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ})↔∃Y^{σ}B^{Int^{σ}}(x, Y^{σ})). (2)

Für die Stufen aller eingesetzten Int^{σ}(U) gelte σ_{0} = max{0}∪ { Stufe(Int^{σ}(U)) | U kommt in F oder Δ vor }. Dann folgt σ_{0} = Stufe(Int^{σ}(U)) für eine in F, Δ vorkommende freie Prädikatvariable U oder σ_{0} = 0. Da, falls σ_{0} ≠ 0, |Int^{σ}(U)| = ω^{3}·σ_{0} + ω^{2}·k + ω·l + r für gewisse k, l, r ∈ IN folgt n(Int^{σ}(U)) ≥ n(ω^{3}·σ_{0}), also ω^{3}·σ_{0} <_{m_{Γ,Int^{σ}}} ω^{3}·σ. Es folgt ω^{3}·σ_{0} ≤ (ω^{3}·σ)[m_{Γ,Int^{σ}}] < (ω^{3}·σ)[m_{Γ,Int^{σ}} + 1], was auch im Fall σ_{0} = 0 folgt. Es gilt nun (ω^{3}·σ)[m_{Γ,Int^{σ}} + 1] = ω^{3}·σ_{1} für ein σ_{1} = ω^{n}·γ′ mit γ′ < ω^{ω}. (Denn sei σ = ω^{m}·γ, mit γ=_{NF} ω^{m_{1}} + ⋯ + ω^{m_{k}}, so folgt ω^{3}·σ=_{NF} ω^{m_{1}+m+3} +⋯+ω^{m_{k}+m+3} und (ω^{3}·σ)[m_{Γ,Int^{σ}} +1] = ω^{m_{1}+m+3} +⋯+ ω^{m_{k−1}+m+3} + ω^{m_{k}+m+2}·(m_{Γ,Int^{σ}} + 2) =

ω^{3}·(ω^{n}· \underbrace{(ω^{m_{1}+1} + ⋯ + ω^{m_{k−1}+1} + ω^{m_{k}}·(m_{Γ,Int^{σ}} + 2)))}_{=:γ′} ).

Nach Induktionsvoraussetzung gilt also (mit Abschwächungslemma)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ_{1}) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ_{1}}} ∪2}

∀x(∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ_{1}}}(x, Y^{σ_{1}})↔∃Y^{σ_{1}}B^{Int^{σ_{1}}}(x, Y^{σ_{1}})), (3)

wobei Int^{σ_{1}} eine Belegung sei, die alle Variablen in A, B, Γ wie Int^{σ} belegt, also A^{Int^{σ_{1}}}≡A^{Int^{σ}}, B^{Int^{σ_{1}}}≡B^{Int^{σ}}, m_{Γ,Int^{σ_{1}}} = m_{Γ,Int^{σ}}. Mit Lemma 14.5 folgt aus (2) und (3)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)#(ω^{3}·σ_{1})+ω+4,(m_{Γ,Int^{σ}} ∪2)}
∀x(∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ})↔∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ_{1}}))).

Sei A_{1}(a) : ≡∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ}}(a, Y^{σ_{1}}), A_{2}(a) : ≡∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(a, Y^{σ}). Da n(ω + 4) = 6 < 2·3+1+1 ≤ 2·n(ω^{3}·σ)+m_{Γ,Int^{σ}} +1 ≤ F_{ω^{3}·σ}(m_{Γ,Int^{σ}}), d.h. ω +4 <_{m_{Γ,Int^{σ}}} (ω^{3}·σ), folgt mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}(n+1))#(ω^{3}·σ_{1}),m_{Γ,Int^{σ}}} ∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)). (4)

Nach Folgerung 14.4 folgt

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}2)#(ω^{3}·σ_{1})+|A(0,U)|+|F (U)|+1,m_{Γ,Int^{σ}} ∪2}
¬∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)), ¬F^{Int^{σ}}(λx.A_{2}(x)), F^{Int^{σ}}(λx.A_{1}(x)),

mit ( ˜<) also

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}(n+1))#(ω^{3}·σ_{1}),m_{Γ,Int^{σ}}}

¬∀x(A_{2}(x)↔A_{1}(x)), ¬F^{Int^{σ}}(λx.A_{2}(x)), F^{Int^{σ}}(λx.A_{1}(x)). (5) Es gilt nun n(∀x(∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ})↔∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ_{1}}}(x, Y^{σ_{1}}))) = max{max{n(A^{Int^{σ}}(0, U^{0})), n(ω^{3}·σ)} + 3, max{n(A^{Int^{σ}}(0, U^{0})), n(ω^{3}·σ_{1})} + 3} + 4 ≤ n((ω^{3}·σ)#(ω^{3}·σ_{1})) + |A(0, U)| + m_{A,Int^{σ}} + 7

≤ n(((ω^{3}·σ) ·^{#}(n + 1))#(ω^{3}·σ_{1})) + m_{Γ,Int^{σ}}).

Weiter gilt |∀x(∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ})↔∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ_{1}}}(x, Y^{σ_{1}}))| < ρ Also folgt mit einem (Cut) von (4) und (5) und mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{0}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}(n+1))#(ω^{3}·σ_{1})+m_{Γ,Int^{σ}} +1,m_{Γ,Int^{σ}}}
¬F^{Int^{σ}}(λx.∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ})), F^{Int^{σ}}(λx.∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ_{1}})).

Da n(¬F^{Int^{σ}}(λx.∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ}))) ≤ n(ω^{3}·σ) + |F (U)| + (m_{Γ,Int^{σ}} ∪ (n(λx.∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ}))))) ≤ n(ω^{3}·σ) + |F (U)| + (m_{Γ,Int^{σ}} ∪ (max{n(A^{Int^{σ}}(0, U^{0})), n(ω^{3}·σ)} + 5)) ≤ n(ω^{3}·σ) + |F (U)| + (m_{Γ,Int^{σ}} ∪ (max{n(ω^{3}·σ) + |A(0, U)| + m_{Γ,Int^{σ}},

n(ω^{3}·σ)} + 5)) ≤ 2·n(ω^{3}·σ) + |F (U)| + |A(0, U)| + m_{Γ,Int^{σ}} + 5

≤ n(((ω^{3}·σ) ·^{#}(n + 1))#(ω^{3}·σ_{1})) + m_{Γ,Int^{σ}} + 1)

und |¬F^{Int^{σ}}(λx.∀Y^{σ}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ}))| < ρ, ergibt ein Schnitt mit (1)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}(n+1))#(ω^{3}·σ_{1})+m_{Γ,Int^{σ}} +2,m_{Γ,Int^{σ}}}
Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(λx.∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ}}(x, Y^{Int^{σ_{1}}})).

λx.∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ_{1}}) ist, da A keine gebundenen Prädikatvariable enthält, Prädikator der Stufe σ_{1} < σ. Da n(λx.∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ_{1}})) = max{n(A^{Int^{σ}}(0, U^{0})), n(ω^{3}·σ_{1})} + 5

{13.6(b) \atop ≤} max\{|A(0, U)| + m_{Γ,Int^{σ}}, n(ω^{3}·σ_{1})\} + 5

< F_{((ω^{3}·σ) ·^{#}(n+2))#(ω^{3}·σ_{1})+m_{Γ,Int^{σ}} +2}(m_{Γ,Int^{σ}}) und (analog wie für σ statt σ_{1} be-

wiesen) n(F^{Int^{σ}}(λx.∀Y^{σ_{1}}A^{Int^{σ}}(x, Y^{σ_{1}})))

≤ n(((ω^{3}·σ) ·^{#}(n + 1))#(ω^{3}·σ_{1}) + 2 + m_{Γ,Int^{σ}}), folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}(n+1))#(ω^{3}·σ_{1})+m_{Γ,Int^{σ}} +3,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, ∃X^{σ}F^{Int^{σ}}(X^{σ}).

ω^{3}·σ_{1} <_{m_{Γ,Int^{σ}} +1} ω^{3}·σ, m_{Γ,Int^{σ}} + 3 <_{m_{Γ,Int^{σ}} +3} ω^{3}·σ, also folgt mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}.

10. Fall: (λ_{1})-Regel: Γ≡Δ, (λx.F (x))(t), DA⊢^{n}Δ, F (t), m = n + 1. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(t^{Int^{σ}}),

mit (∧∧) folgt also

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+1,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (λx.F^{Int^{σ}}(x))(t^{Int^{σ}}), mit ( ˜<) weiter

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (λx.F^{Int^{σ}}(x))(t^{Int^{σ}}).

11. Fall: (λ_{2})-Regel: Γ≡Δ, (∼λx.F (x))(t), DA⊢^{n}Δ, ¬F (t), m = n + 1, n ≥ (|F (t)| + 1) ∪ |t|. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, ¬F^{Int^{σ}}(t^{Int^{σ}}),

mit (∨∨) also, da n(F^{Int^{σ}}(t^{Int^{σ}})) ≤ n(ω^{3}·σ)+|F (t)|+m_{Γ,Int^{σ}} < n(((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+

m_{Γ,Int^{σ}}) und n(t^{Int^{σ}}) ≤ |t| + m_{Γ,Int^{σ}} < F_{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}}} (m_{Γ,Int^{σ}})

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+m_{Γ,Int^{σ}} +1,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (∼λx.F^{Int^{σ}}(x))(t), mit (◁) also

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, (∼λx.F^{Int^{σ}}(x))(t^{Int^{σ}}).

12. Fall: (ind)-Regel: Gelte DA⊢^{m}Δ, ¬F (a), F (Sa) sowie DA⊢^{m}Δ, F (0). Sei Γ≡Δ, ∀xF (x), m ≥ |F (0)| + 1, n = m + 1. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}} ∪k}Δ^{Int^{σ}}, ¬F^{Int^{σ}}(k), F^{Int^{σ}}(Sk), sowie

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, F (0).

Da n(F^{Int^{σ}}(k)) ≤ n(ω^{3}·σ) + |F (0)| + (m_{Γ,Int^{σ}} ∪ k) und |F^{Int^{σ}}(k)| < ρ, folgt mit (Cut)-Schlüssen

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+k+m_{Γ,Int^{σ}} ,m_{Γ,Int^{σ}} ∪k}Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(k), mit ( ˜<) also

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+ω·2,m_{Γ,Int^{σ}} ∪k}Δ^{Int^{σ}}, F^{Int^{σ}}(k), mit (∧∧) also

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}n)+ω·2+1,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, ∀xF^{Int^{σ}}(x), und, da ω·2 + 1 < (ω^{3}·σ),

n(ω·2 + 1) = 5 < 10 = 2·4 + 1 + 1 ≤ 2·n((ω^{3}·σ)) + 1 + 1 ≤ F_{ω^{3}·σ}(1), also ω·2 + 1 ˜<_{1}ω^{3}·σ, mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Δ^{Int^{σ}}, ∀xF^{Int^{σ}}(x), die Behauptung.

13. Fall: (Cut)-Regel: Sei m = n + 1, n ≥ |A| und gelte DA⊢^{n}Γ, A sowie DA⊢^{n}Γ, ¬A. Für Variable in A, die nicht in Γ vorkommen, gelte Int^{σ}(a) = 0 bzw. Int^{σ}(U)≡ λx.x = x. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}} ∪2}Γ^{Int^{σ}}, A^{Int^{σ}} sowie

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n),m_{Γ,Int^{σ}} ∪2}Γ^{Int^{σ}}, ¬A^{Int^{σ}}. Da n(A^{Int^{σ}}) ≤ n(ω^{3}·σ) + |A|+

(m_{Γ,Int^{σ}} ∪2) ≤ n(((ω^{3}·σ) ·^{#}n) + (m_{Γ,Int^{σ}} ∪ 2)) + 1 sowie |A^{Int^{σ}}| < ρ, folgt mit

einem (Cut)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{((ω^{3}·σ) ·^{#}+n)+(m_{Γ,Int^{σ}} ∪2)+1,m_{Γ,Int^{σ}} ∪2}Γ^{Int^{σ}} und mit ( ˜<)

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}(n+1),m_{Γ,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}.

14. Fall: (<)-Regel: Gelte DA⊢^{n}Γ mit n < m. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}n,m_{Γ,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}} und mit ( ˜<) folgt

RA^{∗}⊢_{ρ}^{(ω^{3}·σ) ·^{#}m,m_{Γ,Int^{σ}}} Γ^{Int^{σ}}.

Schranken für beweisbare Π_{2}^{0}-Sätze

In diesem Kapitel wird das Ergebnis der Arbeit angegeben: Schranken für in (P A) bzw. (DA) beweisbare Π_{2}^{0}-Sätze.

Satz 15.1 Sei A(a, b) eine Σ_{1}^{0}-Formel ohne freie Variable (außer a und b). Gelte P A ⊢^{m} ∀x∃yA(x, y). Dann folgt ∃Iα < ϵ_{0} ∀^{\}n ∈ IN∃Ik ≤ F_{α}(n ∪ 1) (Z⊧A(n, k)). (Hierbei sei Z das Standardmodell der der natürlichen Zahlen).

Beweis: Aus P A ⊢^{m} ∀x∃yA(x, y) folgt aus dem Einbettungslemma für (P A) 12.2 Σ ⊢_{m}^{ω+m,1} ∀x∃yA(x, y). Sei λ_{1} := ω^{ω^{ω+ω+m}}, λ_{l+1} := ω^{ω^{λ_{l}+λ_{l}}} für l = 1, …, m − 1. Dann folgt ∀l ≤ m(λ_{l} < ϵ_{0}) und nach dem 2. Schnitteliminationssatz 11.12 für l = 1, …, m Σ ⊢_{m−l}^{λ_{l},1} ∀x∃yA(x, y). Nach dem Kollabierungslemma 11.6 folgt für alle r ≥ 1 ⊧∀x∃yA(x, y)[r/F_{λ_{m}+1}(r)], also ∀^{\}1 ≤ r ∈ IN ∀^{\}n ≤ r∃Ik ≤ F_{λ_{m}+1}(k) (⊧A(n, k)[r/F_{λ_{m}+1}(r)]). Da A(n, l) eine Σ_{1}^{0}-Formel ist, folgt aus ⊧A(n, k)[r/F_{λ_{m}+1}(r)] dann Z⊧A(n, k). Setzt man also α = λ_{m} + 1 < ϵ_{0} und r := n ∪ 1 so folgt ∀^{\}n ∈ IN∃Ik ≤ F_{α}(n ∪ 1) (Z⊧A(n, k)).

Satz 15.2 Sei A(a, b) eine Σ_{1}^{0}-Formel ohne freie Variable (außer a und b). Gelte DA ⊢^{m} ∀x∃yA(x, y).

15. Schranken für beweisbare Π_{2}^{0}-Sätze 108

Dann folgt ∃Iα < ϕ_{ω}0 ∀^{\}n ∈ IN∃Ik ≤ F_{α}(n ∪ 1) (Z⊧A(n, k)).

Beweis: Aus DA ⊢^{m} ∀x∃yA(x, y) folgt aus dem Einbettungssatz für (DA) 14.6 RA^{∗} ⊢_{ω^{3+m}+ω^{3}}^{ω^{3+m}·m,1} ∀x∃yA(x, y). Sei λ_{1} := ϕ_{3}(ω^{ω^{3+m}·(m+1)}), λ_{2} := ϕ_{3+m}(ω^{λ_{1}·2}). Dann folgt λ_{2} < ϕ_{ω}0 und durch zweimalige Anwendung des 2. Schnitteliminationssatzes 11.12 (beachte, daß der Beweiskalkl von (RA^{∗}) der von (Σ) ist) RA^{∗} ⊢_{0}^{λ_{2},1} ∀x∃yA(x, y). Wie im Beweis von Satz 15.1 folgt daraus mit

α := λ_{2} + 1 ∀^{\}n ∈ IN∃Ik ≤ F_{α}(n ∪ 1) (Z⊧A(n, k)).

Teil III Anhang

109

Anhang A

Symbolverzeichnis

Symbol eingeführt in:

Kapitel 2 On, Lim 2.1 ℵ_{α} 2.1 Ω_{α} 2.1 P, P (α) 2.1 α#β 2.1 α=_{NF} β_{1} + ⋯ + β_{n} 2.1 C_{v}^{n}(α), C_{v}(α) 2.3 ψ_{v}α 2.3 ϵ(v) 2.10 (Beweis) α ∗ v 2.10 (Beweis) G_{u}γ 2.12, vgl. auch 3.5 Länge_{s}(α) 2.14

Kapitel 3 D_{0}, D_{1}, …, D_{ω} 3.1 (a_{0}, …, a_{n}), (a) 3.1 T 3.1 Länge(a) 3.1 (T 1), (T 2), (T 3) 3.1 P^{T}, P^{T} (a) 3.1 a ≺ b, a ⪯ b 3.2 (≺ 1), (≺ 2), (≺ 3) 3.2 M ⪯ M′, M ≺ a, a ⪯ M 3.4 G_{u}a 3.5, vgl. auch 2.12 OT 3.7 (OT1), (OT2), (OT3) 3.7 P^{OT}, P^{OT}(a) 3.7 o(a), o[M] 3.8 (o.1), (o.2), (o.3) 3.8

Kapitel 4 a + b 4.1 a·n 4.1 T_{v} 4.3, 4.17 1 4.5 IN 4.5, 4.17 dom(a) 4.6, vgl. auch 4.17 a[z] 4.6, vgl. auch 4.17 ([ ].1), ([ ].2), ([ ].3), ([ ].4), ([ ].5) 4.6 G_{u}^{0}a 4.10 b◁_{z}a 4.10 T_{u}^{Ord} 4.17 IN^{Ord} 4.17 dom(α) 4.17, vgl. auch 4.6 α[β] 4.17, vgl. auch 4.6

Kapitel 6

ϕ_{α}β Einleitung zu Kap. 6,

vgl. auch 6.3, 6.6

ϕ̃_{α}β 6.3 Kapitel 7

α[n]_{H} 7.2 (ϕ_{α}β)^{o} 7.3 (Beweis)

Kapitel 8 Ord 8.1 (BB) 8.1 α <_{k}^{1} β, α <_{k} β, α ≤_{k} β 8.2 α >_{k} β, α ≥_{k} β 8.2 F_{α}(n) 8.4 α^{−} 8.6, 10.1 n(α) 8.6 α <_{k}^{1,∗} β, α <_{k}^{∗} β 8.8 α ˜<_{l}^{1}β, α ˜<_{l}β, α ˜≤_{l}β 8.10 α ˜>_{l}β, α ˜≥_{l}β 8.10

Kapitel 9 (+), (P) Einleitung zu Kap. 9

α ·^{#}n 9.7

n ∪ m 9.7 α ∪ ∪ β 9.8

Kapitel 10 α <_{G}^{1} β, α <_{G} β, α ≤_{G} β 10.1 α <_{k,H}^{1} β, α <_{k,H} β, α ≤_{k,H} β 10.12 α >_{k,H} β, α ≥_{k,H} β 10.12

Kapitel 11 (Σ) 11.1

A=^{∧} ∧∧_{ι∈I} A_{ι}, A=^{∧} ∨∨_{ι∈I} A_{ι} 11.1

ν(ι) 11.1 |A| 11.1, 12.1, 13.1, 13.2 n(A) 11.1 ¬A 11.1, 12.1, 13.1, 13.2 (∧∧), (∨∨), (Cut), (◁) 11.2 Σ⊢_{ρ}^{α,n}Γ 11.2 Regel ( ˜<) 11.4 ⊧A[m/n], ⊧Γ[m/n] 11.5

Kapitel 12 (P A) 12.1 =, ≠, ∧, ∨, ∀, ∃, →, ↔, S 12.1, 13.1, 13.2 (=), (S), (f), (+), (∧), (∃), (Cut) 12.1, 13.1 (∀), (∃) 12.1 P A⊢^{m}Γ 12.1 A^{∗}, Γ^{∗} 12.2 (Beweis)

Kapitel 13 (DA) 13.1 ∼, λ 13.1, 13.2 (∀_{1}), (∀_{2}), (∃_{1}), (∃_{2}), (∃_{3}), (λ_{1}), (λ_{2}) 13.1 (ind), (<) 13.1 DA⊢^{m}Γ 13.1 (RA^{∗}) 13.2 U^{0}, X^{σ} 13.2 Stufe(A) 13.2 P^{σ} 13.2 RA^{∗}⊢_{ρ}^{α,n}Γ 13.2 Int^{σ} 13.5 A^{Int^{σ}}, t^{Int^{σ}} 13.5 m_{A,Int^{σ}} 13.5 a⃗, U⃗, t⃗, P⃗ 13.4

Kapitel 15 Z⊧A 15.1

Literaturverzeichnis

[1] Wilfried Buchholz: A new system of proof-theoretic ordinal functions. Annals of Pure and Applied Logic 32 (1986), 195 - 207.

[2] Wilfried Buchholz: An independence result for (Π_{1}^{1}−CA)+BI. Annals of Pure and Applied Logic 33 (1987), 131-155.

[3] Wilfried Buchholz and Stan Wainer: Provably computable functions and the fast growing Hierarchy. Contemporary Mathematics 65 (1987), 179-198.

[4] Wilfried Buchholz und Kurt Schütte: Proof Theory of Impredicate Subsystems of Analysis. Bibliopolis, Napoli, 1988.

[5] Wilfried Buchholz: Manuskripte.

[6] Wilfried Buchholz: Vorentwurf zur Diplomarbeit Setzer.

[7] Diana Schmidt: Built-up systems of fundemental sequences and hierarchies of number-theoretic functions. Arch. math. Logik 18 (1977), 47 - 53.

[8] Kurt Schütte: Proof Theory. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1977.

[9] Kurt Schütte: Majorisierungsrelationen und Fundamentalfolgen eines Ordinalzahlensystems von G. Jäger. Arch. math. Logik 26 (1986/1987), 29-55.

[10] Helmut Schwichtenberg: Proof Theory: Some Applications of Cut-Elimination. In: Handbook of mathematical logic. Edited by J. Barwise. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New-York, Oxford, 1977, pp. 867-895.

Hiermit erkläre ich, daß ich die Diplomarbeit selbstständig verfaßt habe und keine anderen als die angegebenen Quellen verwendet wurden.

München, den 5. Januar 1990